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Wichtige Additionstheoreme kennen

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Zusammenfassung

Wichtige Additionstheoreme kennen

Einführung

Kennt man den Sinus- und den Kosinuswert zweier Winkel α\alphaα und β\betaβ, so kann man die Sinus- und Kosinuswerte von (α+β)(\alpha+\beta)(α+β)​ berechnen. Allerdings gilt im Allgemeinen sin⁡(α+β)≠sin⁡(α)+sin⁡(β)sin⁡(α+β)≠sin⁡(α)+sin⁡(β) sin⁡(α+β)=sin⁡(α)+sin⁡(β) und cos⁡(α+β)≠cos⁡(α)+cos⁡(β)cos⁡(α+β)≠cos⁡(α)+cos⁡(β)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)+cos⁡(β)​. Deshalb brauchen wir zur Berechnung dieser Summen andere Formeln.

Dabei können Additionstheoreme helfen.



Einfache Additionstheoreme

Sinus

​sin⁡(α+β)=sin⁡(α)⋅cos⁡(β)+sin⁡(β)⋅cos⁡(α)sin⁡(α+β)=sin⁡(α)\cdot cos⁡(β)+sin⁡(β)\cdot cos⁡(α)sin⁡(α+β)=sin⁡(α)⋅cos⁡(β)+sin⁡(β)⋅cos⁡(α)​​

​sin⁡(α−β)=sin⁡(α)⋅cos⁡(β)−sin⁡(β)⋅cos⁡(α)sin⁡(α-β)=sin⁡(α)\cdot cos⁡(β)-sin⁡(β)\cdot cos⁡(α)sin⁡(α−β)=sin⁡(α)⋅cos⁡(β)−sin⁡(β)⋅cos⁡(α)​​



Kosinus

​cos⁡(α+β)=cos⁡(α)⋅cos⁡(β)−sin⁡(α)⋅sin⁡(β)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)\cdot cos⁡(β)-sin⁡(α)\cdot sin⁡(β)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)⋅cos⁡(β)−sin⁡(α)⋅sin⁡(β)​​

​cos⁡(α−β)=cos⁡(α)⋅cos⁡(β)+sin⁡(α)⋅sin⁡(β)cos⁡(α-β)=cos⁡(α)\cdot cos⁡(β)+sin⁡(α)\cdot sin⁡(β)cos⁡(α−β)=cos⁡(α)⋅cos⁡(β)+sin⁡(α)⋅sin⁡(β)​​



Tangens

tan⁡(α+β)=tan⁡(α)+tan⁡(β)1−tan⁡(α)⋅tan⁡(β)tan⁡(α+β)=\frac{tan⁡(α)+tan⁡(β)}{1-tan⁡(α)\cdot tan⁡(β)}tan⁡(α+β)=1−tan⁡(α)⋅tan⁡(β)tan⁡(α)+tan⁡(β)​​​

​tan⁡(α−β)=tan⁡(α)−tan⁡(β)1+tan⁡(α)⋅tan⁡(β)tan⁡(α-β)=\frac{tan⁡(α)-tan⁡(β)}{1+tan⁡(α)\cdot tan⁡(β)}tan⁡(α−β)=1+tan⁡(α)⋅tan⁡(β)tan⁡(α)−tan⁡(β)​​​



Doppelwinkelformel

Sinus und Kosinus

​sin⁡(2α)=2sin⁡(α)cos(α)sin⁡(2α)=2 sin⁡(α)cos(α)sin⁡(2α)=2sin⁡(α)cos(α)​​

​cos⁡(2α)=cos2⁡(α)−sin2⁡(α)cos⁡(2α)=cos^2⁡(α)-sin^2⁡(α)cos⁡(2α)=cos2⁡(α)−sin2⁡(α)​​

Tangens

​tan⁡(2α)=2⋅tan⁡(α)1−tan2⁡(α)tan⁡(2α)=\frac{2\cdot tan⁡(α)}{1-tan^2⁡(α)}tan⁡(2α)=1−tan2⁡(α)2⋅tan⁡(α)​​​



Trigonometrischer Pythagoras

​cos2⁡(α)=1−sin2⁡(α)cos^2⁡(α)=1-sin^2⁡(α)cos2⁡(α)=1−sin2⁡(α)​​



Weitere Formeln

sin⁡(α)+sin⁡(β)=2sin⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)sin⁡(α)+sin⁡(β)=2 sin⁡(\frac{α+β}{2}) cos⁡(\frac{α-β}{2})sin⁡(α)+sin⁡(β)=2sin⁡(2α+β​)cos⁡(2α−β​)​​

​sin⁡(α)−sin⁡(β)=2cos(α+β2)sin(α−β2)sin⁡(α)-sin⁡(β)=2 cos(\frac{α+β}{2}) sin(\frac{α-β}{2})sin⁡(α)−sin⁡(β)=2cos(2α+β​)sin(2α−β​)​​

​cos(α)+cos⁡(β)=2cos⁡(α+β2)cos⁡(α−β2)cos(α)+cos⁡(β)=2 cos⁡(\frac{α+β}{2}) cos⁡(\frac{α-β}{2})cos(α)+cos⁡(β)=2cos⁡(2α+β​)cos⁡(2α−β​)​​

​cos(α)−cos⁡(β)=−2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)cos(α)-cos⁡(β)=-2 sin⁡(\frac{α+β}{2}) sin⁡(\frac{α-β}{2})cos(α)−cos⁡(β)=−2sin⁡(2α+β​)sin⁡(2α−β​)​​


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Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Teil 1

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Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Teil 2

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

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Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist der trigonometrische Pythagoras?

Das Theorem besagt das: sin(alpha)^2 + cos(alpha)^2 = 1 ist. Es kann mit dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis hergeleitet werden.

Wofür gibt es Additionstheoreme?

Sie beschreiben Zusammenhänge zwischen bestimmten trigonometrischen Termen. Zum Beispiel dem Sinus und dem Kosinus.

Was sind Additionstheoreme?

Sie geben den Zusammenhang zwischen bestimmten Sinus- und Kosinustermen an, und erlauben es Dir Terme zu vereinfachen.

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