Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Definition

Der Sinus- und Kosinussatz gilt für alle Dreiecke. Sie setzen Seitenlängen und Winkel in Verhältnisse.

Formeln

Hinweis:  Ist einer der Winkel $$90\degree$$​, so reduziert sich der Kosinussatz zum Satz des Pythagoras $$c^2=a^2+b^2$$, weil $$\cos(90\degree)=0$$.​

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Sinus- und Kosinussatz anwenden

Folgende Übersicht zeigt, wann man welchen Satz anwenden sollte.

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Erklärung

Die Buchstabenkürzel geben die Reihenfolge der gegebenen Winkel oder Seiten an.

• s: (kürzere) Seite
• S: (längere) Seite
• w: Winkel

Für Buchstaben, die nebeneinander stehen, liegen die jeweiligen Seiten oder Winkel nebeneinander.

Beispiel

Beispiel - Sinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$$a=5\,cm,\alpha=30\degree$$​ und $$\beta=70\degree$$

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Winkelsumme $$180\degree$$​ nutzen, um $$\gamma$$​  zu bestimmen:

​$$y=180-30-70=\underline{80\degree}$$​​

Sinussatz für $$b$$​:

Sinussatz für $$c$$​:

Beispiel - Kosinussatz

Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks mit den Werten:

$$\alpha=30\degree, b=10\,cm,$$ und $$c=7\,cm$$​

Kosinussatz für $$a$$​:

​$$a^2=10^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot \cos(30\degree)\\a=\underline{5{,}29\,cm}$$​​

Winkel $$\beta$$​  und $$\gamma$$​  beliebig mit dem Kosinussatz oder Sinussatz (empfohlen) berechnen:

Winkelsumme $$180\degree$$ nutzen, um den noch fehlenden Winkel $$\gamma$$ zu bestimmen:

​$$\gamma=180-30-70{,}1=\underline{79{,}9\degree}$$​​

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