Zufälliges Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Das Ziehen von Elementen aus einer Menge oder mehreren Mengen kann eine Vielzahl von verschiedenen Ausgängen haben. Wie viele solcher Ausgänge existieren, wird mittels verschiedener Formeln berechnet, abhängig davon, wie die Situation ist.

Formeln

Kombinieren von Mengen

Diese Formel wird verwendet, wenn man zwei oder mehr Mengen von Elementen hat, von denen man jeweils eines auswählt.

$Anzahl\, Möglichkeiten = n_1\cdot n_2\cdot ... \cdot n_m$​​

$n_1$​ ist die Anzahl Elemente in der ersten Menge,  die Anzahl in der zweiten usw.

Beispiel - In einer Eisdiele gibt es $5$​ verschiedene Eissorten, die man jeweils in einer Waffel oder einem Becher bestellen kann. Wie viele verschiedene Bestellungen können in der Eisdiele aufgegeben werden?

Menge $1$​: Eissorten

Menge $2$​: Gefäße

Es gibt $5$​ Eissorten und zwei Arten von Gefäßen, daher ist $n_1=5$​ und $n_2=2$​.

$Anzahl\, Möglichkeiten=n_1\cdot n_2=5\cdot 2=\underline{10}$​

Es können also $10$​ verschiede Bestellungen in der Eisdiele aufgegeben werden.
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Anordnen von Elementen einer Menge

Diese Formel wird verwendet, wenn alle Elemente aus einer Menge angeordnet werden und man sich fragt, in wie vielen verschiedenen Reihenfolgen dies möglich ist.

$Anzahl\, Möglichkeiten=n!=n\cdot (n-1)\cdot(n-2)\cdot… \cdot2\cdot1$​​

Hier bezeichnet $n$​  die Anzahl Elemente in der Menge. $n!$​ heißt „$n$​ Fakultät“.

Beispiel - $10$​ verschiedenfarbige Autos sollen auf $10$​ Parkplätze gestellt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Autos auf die Parkplätze zu verteilen?

$Anzahl \,Möglichkeiten=10!=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=\underline{3 \,628 \,800}$​​

Es gibt also $3 \,628 \,800$​ Möglichkeiten, um $10$​ Autos auf $10$​ Parkplätze zu verteilen.

Ziehen von Elementen aus einer Menge mit Zurücklegen

Diese Formel wird verwendet, wenn mehrmals hintereinander zufällig ein Element einer Menge gezogen wird und man beim nächsten Zug dasselbe Element nochmal ziehen kann.

$Anzahl\, Möglichkeiten=\frac{n!}{(n-k)!}$​​

Hier bezeichnet $n$​ die Anzahl der Elemente in der Menge und $k$​  die Anzahl Elemente, die ausgewählt werden.

Beispiel - Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die aus den Ziffern $1, 2, 3, 4, 7$​ und $8$​ gebildet werden können?

Die Menge der Zahlen hat fünf Elemente, daher ist $n=6$​ .

Die Zahl hat vier Stellen, daher wird $4$​ mal ein Element der Menge ausgewählt, was bedeutet dass $k=4$​  ist.

Es folgt:

$Anzahl\, Möglichkeiten = 6^4=\underline{1\,296}$​​

Es gibt $1\, 296$​ vierstellige Zahlen, die aus den gegebenen Ziffern gebildet werden können.

Ziehen von Elementen aus einer Menge ohne Zurücklegen

Diese Formel wird verwendet, wenn mehrmals hintereinander zufällig ein Element einer Menge gezogen wird und man dieses beim nächsten Zug nicht nochmal ziehen kann.

$Anzahl \,Möglichkeiten=\frac{n!}{(n-k)!}$​​

Hier bezeichnet $n$​  die Anzahl der Elemente in der Menge und $k$​  die Anzahl Elemente, die ausgewählt werden.

Beispiel - Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die aus den Ziffern $1, 2, 3, 4, 7$​ und $8$​ gebildet werden können, wenn jede Ziffer nur ein einziges Mal verwendet werden darf?

Die Menge der Zahlen hat fünf Elemente, daher ist $n=6$​.
Die Zahl hat vier Stellen, daher werden $4$​ Elemente der Menge ausgewählt, was bedeutet, dass $k=4$​.
Es folgt:

$Anzahl \,Möglichkeiten=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=\underline{360}$​

Es gibt $360$​ solcher Zahlen.
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