Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Definition

Der Tangens ($$\tan$$​ ) beschreibt, ebenso wie Sinus und Kosinus, Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Tangens

Er beschreibt das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete von einem Winkel :

​$$\tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete \,von \,\alpha}{Ankathete\, von\,\alpha}$$​​

Arkustangens

Der Arkustangens ($$\tan^{-1}$$​  oder $$\arctan$$​ ) berechnet für ein gegebenes Verhältnis (Gegenkathete von $$\alpha$$ ​  zu Ankathete von $$\alpha$$ ​ ) den Winkel $$\alpha$$ ​.

$$\tan^{-1}$$​ ist somit die Umkehrfunktion von $$\tan$$​ .

​$$\alpha= \tan^{-1}(\frac{Gegenkathete \,von \,\alpha}{Ankathete\, von\,\alpha})$$​​

Beispiel - Winkel $$\alpha$$​  berechnen:

Winkel $$\alpha$$​  mit dem Tangens:

​$$\tan(\alpha)=\frac{Geg}{An}=\frac34$$​​

Arkustangens:

$$\alpha=\tan^{-1}(\frac34)=\underline{36{,}9\degree}$$​​

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Folgende Formeln helfen beim Vereinfachen von Termen und dem Auflösen von Gleichungen.

Tangens zu Sinus und Kosinus

​$$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$​​

Winkelverschiebung

​$$\tan(90\degree-x)=\frac1{\tan(x)}$$​​

Werte von Tangens

Teils ist verlangt, die Werte von Tangens für bestimmte Winkel zu kennen, die folgende Tabelle kann hierbei hilfreich sein: