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Trigonometrie

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung


Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Definition

Der Tangens (tan\tan ) beschreibt, ebenso wie Sinus und Kosinus, Zusammenhänge von Seitenverhältnissen und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.


Tangens

Er beschreibt das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete von einem Winkel :


tan(α)=Gegenkathete von αAnkathete von α\tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete \,von \,\alpha}{Ankathete\, von\,\alpha}​​


Arkustangens

Der Arkustangens (tan1\tan^{-1}  oder arctan\arctan ) berechnet für ein gegebenes Verhältnis (Gegenkathete von α\alpha  zu Ankathete von α\alpha ) den Winkel α\alpha .


tan1\tan^{-1}​ ist somit die Umkehrfunktion von tan\tan .

α=tan1(Gegenkathete von αAnkathete von α)\alpha= \tan^{-1}(\frac{Gegenkathete \,von \,\alpha}{Ankathete\, von\,\alpha})​​


Beispiel - Winkel α\alpha  berechnen:

Mathematik; Trigonometrie; 9. Klasse Gymnasium; Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Winkel α\alpha  mit dem Tangens:

tan(α)=GegAn=34\tan(\alpha)=\frac{Geg}{An}=\frac34​​

Arkustangens:

α=tan1(34)=36,9°\alpha=\tan^{-1}(\frac34)=\underline{36{,}9\degree}​​



Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Folgende Formeln helfen beim Vereinfachen von Termen und dem Auflösen von Gleichungen.


Tangens zu Sinus und Kosinus

tan(α)=sin(α)cos(α)\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}​​


Winkelverschiebung

tan(90°x)=1tan(x)\tan(90\degree-x)=\frac1{\tan(x)}​​



Werte von Tangens

Teils ist verlangt, die Werte von Tangens für bestimmte Winkel zu kennen, die folgende Tabelle kann hierbei hilfreich sein:


Mathematik; Trigonometrie; 9. Klasse Gymnasium; Tangens im Dreieck: Definition & Werte


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechne ich den Tangens mit Sinus und Kosinus?

Wofür brauche ich den Tangens?

Was ist der Tangens?

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