Die Nullstellenform (auch faktorisierte Form genannt) ist eine von drei verschiedenen Möglichkeiten zur Darstellung einer quadratischen Funktion. Dabei sind die Nullstellen und der Öffnungsfaktor a wichtig. Der Vorteil der Nullstellenform ist, dass man direkt die Nullstellen x1 und x2 der Funktion ablesen kann.
Beispiel
Eine allgemeine quadratische Gleichung in Normalform und in Nullstellenform.
Normalform:
f(x)=ax2+bx+c
Nullstellenform:
f(x)=a(x−x1)(x−x2)
Fälle und Umformung
Eine Funktion kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben. Im Falle von zwei Nullstellen gilt die allgemeine Nullstellenform f(x)=a(x−x1)(x−x2). Im Falle von nur einer Nullstelle wird die allgemeine Nullstellenform umgeschrieben und x2 wird zu x1. Man kann dann schreiben f(x)=a(x−x1)(x−x1). Hat die Funktion gar keine Nullstelle, so hat sie auch keine Nullstellenform.
Beispiel
Eine Funktion mit einer Nullstellex1=3und Öffnungsfaktor a=2.
Die Funktion hat nur eine Nullstelle, deshalb kann man schreiben:
f(x)=2(x−3)2
Von der Normalform zur Nullstellenform
Vorgehen
1.
Nullstellen der Funktion mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen finden. Zum Beispiel mit der Mitternachts- oder pq-Formel.
2.
Untersuche wie viele Nullstellen es gibt. Gibt es 2 Nullstellen, stelle die allgemeine Nullstellenform auf f(x)=a(x−x1)(x−x2). Gibt es eine, stelle die umgeformte Nullstellenform auf f(x)=a(x−x1)(x−x1) . Falls es keine Nullstelle gibt, kannst du die Funktion nicht in Nullstellenform schreiben.
Beispiel
Stelle die Nullstellenform der Funktionf(x)=2x2+3x+1 auf.
Mit der Mitternachtsformel Nullstellen finden:
x1,x2=2⋅2−3±32−4⋅2⋅1
Daraus ergibt sich
x1=−1 und x2=−21
Es gibt zwei Nullstellen, deshalb kann man diese einfach in die allgemeine Nullstellenform einsetzen:
f(x)=2(x+1)(x+21)
Tipp: Um von der Nullstellenform auf die Normalform zu kommen, multiplizieren den Term einfach aus und forme um.
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Wie komme ich von der Nullstellenform zur Normalform?
Multipliziere den Term einfach aus.
Wie stelle ich die Normalform zur Nullstellenform um?
Du rechnest erst mit der Mitternachtsformel die Nullstellen aus und kannst sie dann in die Nullstellenform einsetzen.
Nullstellenform ohne Nullstelle einfach erklärt?
Hat die Funktion keine Nullstelle, dann kannst Du auch keine Nullstellenform aufstellen.
Wie bringe ich eine Funktion mit nur einer Nullstelle in Nullstellenform?
Im Falle nur einer Nullstelle wird die allgemeine Nullstellenform umgeschrieben und das x2 wird zu einem x1.
Was ist die Nullstellenform bei quadratischen Funktionen?
Die Nullstellenform (auch faktorisierte Form genannt) ist eine von drei verschiedenen Möglichkeiten zur Darstellung einer quadratischen Funktion. Dabei sind die Nullstellen und der Öffnungsfaktor a wichtig. Der Vorteil der Nullstellenform ist, dass Du direkt die Nullstellen einer Funktion ablesen kannst. X1und x2 sind die Nullstellen der Funktion.