Quadratische Gleichung: Nullstellenform aufstellen

Erklärung

Die Nullstellenform (auch faktorisierte Form genannt) ist eine von drei verschiedenen Möglichkeiten zur Darstellung einer quadratischen Funktion. Dabei sind die Nullstellen und der Öffnungsfaktor a wichtig. Der Vorteil der Nullstellenform ist, dass man direkt die Nullstellen $$x_1$$ und $$x_2$$ der Funktion ablesen kann.

Beispiel

Eine allgemeine quadratische Gleichung in Normalform und in Nullstellenform.

Normalform:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$​​

Nullstellenform:

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$​​

Fälle und Umformung

Eine Funktion kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben. Im Falle von zwei Nullstellen gilt die allgemeine Nullstellenform $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$​ . Im Falle von nur einer Nullstelle wird die allgemeine Nullstellenform umgeschrieben und $$x_2$$ wird zu $$x_1$$. Man kann dann schreiben $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_1)$$​ . Hat die Funktion gar keine Nullstelle, so hat sie auch keine Nullstellenform.

Beispiel

Eine Funktion mit einer Nullstelle $$x_1=3$$ und Öffnungsfaktor $$a=2$$.

Die Funktion hat nur eine Nullstelle, deshalb kann man schreiben:

$$f(x)=2(x-3)^2$$​​

Von der Normalform zur Nullstellenform

Vorgehen

Beispiel

Stelle die Nullstellenform der Funktion $$f(x)=2x^2+3x+1$$​ auf.

Mit der Mitternachtsformel Nullstellen finden:

$$x_1,x_2=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot1}}{2\cdot2}$$​​

Daraus ergibt sich

$$x_1=-1\text{ und } x_2=-\frac12$$​​

Es gibt zwei Nullstellen, deshalb kann man diese einfach in die allgemeine Nullstellenform einsetzen:

​$$\underline{f(x)=2(x+1)(x+\frac12)}$$​​

Tipp: Um von der Nullstellenform auf die Normalform zu kommen, multiplizieren den Term einfach aus und forme um.