Quadratische Funktionen: Definition & Darstellung 

Definition

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, bei der der höchste Exponent von der Variable $$x$$ zwei ist.

Beispiel

$$f(x)=3x^2+5x-7$$

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Graph

Der Graph einer quadratischen Funktion wird als Parabel bezeichnet. Diese kann nach oben oder unten geöffnet sein („lachender oder weinender Smiley“).

Beispiel

Bei einer nach oben geöffneten Parabel wird der niedrigste Punkt des Graphen als Scheitelpunkt bezeichnet, bei einer nach unten geöffneten Parabel wird der höchste Punkt als Scheitelpunkt bezeichnet.

Normalparabel

Definition

Die einfachste Form einer quadratischen Funktion ist $$f(x)=x^2$$​ . Der zugehörige Funktionsgraph wird auch als Normalparabel bezeichnet.

Beispiel

Für die Normalparabel wird im Folgenden exemplarisch eine Wertetabelle erstellt, sowie der Funktionsgraph dargestellt:

Wertetabelle	Graph

Rein quadratische Funktion

Definition

Die rein quadratische Funktion enthält zusätzlich zur Normalparabel noch den Streckfaktor $$a$$​:

$$f(x)=ax^2$$​​

Für $$a=1$$​ entspricht die rein quadratische Funktion der Normalparabel. In allen anderen Fällen gibt der Streckfaktor $$a$$​ an, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist:

​$$a>0$$​​	​$$a<0$$​​	​$$|a|>1$$​	​$$|a|<1$$​​
Die Parabel ist nach oben geöffnet.	Die Parabel ist nach unten geöffnet.	Streckung in y-Richtung	Stauchung in y-Richtung

Eigenschaften einer rein quadratischen Funktion

• Die Funktion ist achsensymmetrisch zur $$y$$​-Achse.
• Es gilt: $$f(0)=0$$​.

Allgemeine Form

Definition

Die allgemeine Form ist eine Möglichkeit, quadratische Funktionen ausmultipliziert anzugeben:

Zusätzlich zur rein quadratischen Funktion wird die Parabel nun durch die Parameter $$b$$​ und $$c$$ noch seitlich und nach oben bzw. unten verschoben.

Hinweis: Gelegentlich wird die allgemeine Form auch als Normalform bezeichnet.

Eigenschaften

Streckfaktor 

Der Streckungsfaktor $$a$$​ hat dieselbe Funktion, die schon bei den rein quadratischen Funktionen erklärt wurde.

$$y$$​-Achsenabschnitt

​Der $$y$$​​-Achsenabschnitt $$c$$​​ gibt die Stelle auf der $$y$$​​-Achse an, an der die Funktion die $$y$$​​-Achse schneidet.

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Vorgehen bei typischen Aufgaben

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige typische Aufgabenstellungen. Hierzu zählen die Bestimmung des $$y$$-Achsenabschnitts und der Nullstellen, sowie die Bestimmung einer eindeutigen quadratischen Funktion aus drei gegebenen Punkten. Das schematische Vorgehen bei diesen Aufgabenstellungen wird im Folgenden erklärt.

y-Achsenabschnittpunkt bestimmen

Vorgehen

​​Beispiel

Gegeben:

$$f(x)=3x^2+x-6$$​​

$$y$$​-Achsenabschnitt:

$$c=-6$$​​

$$y$$​-Achsenabschnittpunkt:

$$\underline{P(0|-6)}$$​​

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Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Punkte, an denen die Parabel die $$x$$​-Achse schneidet oder berührt. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben.

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Vorgehen

Tipp: Der x-Wert des Scheitelpunktes liegt in der Mitte der beiden Nullstellen:

​$$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}$$​​

Beispiel

Gegeben:

$$f(x)=x^2+x-6$$​​

Löse die quadratische Gleichung:

$$\begin{aligned}0&=x^2+x-6\\x_{1/2}&=-\frac12\pm\sqrt{0,25+6}\\x_{1/2}&=-\frac12\pm 2,5\\\,\\x_1&=2,x_2=-3\end{aligned}$$​​

Die Nullstellen der quadratischen Funktion lauten:

 $$\underline{N_1(2|0) \text{ und }N_2(-3|0)}$$

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Quadratische Funktion mit drei Punkten bestimmen

Gegeben sind drei Punkte auf der Funktion. Das Ziel ist, die Parameter $$a$$​, $$b$$​ und $$c$$​ in der allgemeinen Form der Funktion zu bestimmen.

Vorgehen

Beispiel

Gegeben:

$$P(-1|-4),Q(1|0),R(2|5)$$​​

Setze die Punkte ein:

Löse das Gleichungssystem:

$$\left | \begin{aligned}-4&=a-b+c\\0&=a+b+c\\5&=4a+2b+c\end{aligned}\right |$$​​

Lösungen:

$$a=1,b=2\text{ und } c=-3$$​​

Allgemeine Form:

$$\underline{f(x)=x^2+2x-3}$$

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