Erwartungswert: Definition & Berechnung

Definition

Der Erwartungswert $$E(x)$$​  einer Zufallsgröße $$X$$​  gibt an, welcher Wert für $$X$$​  auf lange Sicht im Durchschnitt erwartet werden kann, also welcher Wert sich im Durchschnitt ergibt, wenn das Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt wird.

Um den Erwartungswert  einer Zufallsgröße $$X$$​ , die die Werte $$x_1; \ x_2; \ x_3; \ ... \ x_n$$​  annehmen kann, zu berechnen, gehst du wie folgt vor:

Vorgehen

 Als Formel ergibt sich für den Erwartungswert:

$$E(x)=x_1 \cdot P(X=x_1)+x_2 \cdot P(X=x_2)+ ... \ + x_n \cdot P(X=x_n)$$

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Faire Spiele

Wenn die Zufallsvariable $$X$$​  den Gewinn in einem Spiel mit zufälligen Elementen bezeichnet, so kann anhand des Erwartungswerts untersucht werden, ob das Spiel fair ist. Ein Spiel ist fair, wenn durchschnittlich so viel gewonnen wie verloren werden kann. Der Spielveranstalter würde also weder Gewinn noch Verlust machen. Bei einem fairen Spiel gilt:

$$E(X)=0$$​​

Beispiel:

Pro Runde kostet ein Spiel $$10 \ \text{€}$$ . Aus $$10$$  Karten, die mit den Zahlen von $$1$$​  bis $$10$$  beschriftet sind, wird eine gezogen. Bei einer Karte mit einer Zahl kleiner als $$5$$​  müssen weitere $$5 \ \text{€}$$  gezahlt werden. Karten mit den Zahlen $$5$$​ , $$6$$​  und $$7$$​  erbringen einen Gewinn von $$10 \ \text{€}$$​  , für die Zahlen $$8$$​  und $$9$$​  sogar $$50 \ \text{€}$$​  und für die Karte mit der $$10$$​  gibt es einen Gewinn von $$100 \ \text{€}$$​ . Es werden beliebig viele Runden gespielt.

Wie groß ist der zu erwartende Gewinn im Spiel? Ist das Spiel fair? Falls nicht, wie müsste der Einsatz verändern werden, damit das Spiel fair wird?

Zunächst wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $$X$$​  bestimmt. Dies geschieht in der folgenden Tabelle:

Hinweis:

Bei der Berechnung des Gewinns wurde jeweils vom erhaltenen Geld der Spieleinsatz (hier  $$10 \ \text{€}$$​ ) abgezogen. Ist der Gewinn negativ, so handelt es sich um einen Verlust.

Nun wird aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Erwartungswert bestimmt:

$$E(x)=(-15 \ \text{€}) \cdot P(X=-15 \ \text{€})+0 \ \text{€} \cdot P(X=0 \ \text{€})+40 \ \text{€} \cdot P(X=40 \ \text{€})+90 \ \text{€} \cdot P(X=90 \ \text{€}) \\E(X)=(-15 \ \text{€}) \cdot \frac{2}{5}+40 \ \text{€} \cdot \frac{1}{5}+90 \ \text{€} \cdot \frac{1}{10}= \underline{11 \ \text{€}}$$​​​

Das Spiel ist nicht fair, weil nicht $$E(X)=0$$​  gilt. Langfristig würden die Spielbetreiber hier große Verluste und die Spieler*innen große Gewinne machen.

Damit das Spiel fair wird, müsste der Einsatz angepasst werden, der im Folgenden mit $$a$$​  bezeichnet wird. Die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:

Für den Erwartungswert soll nun gelten: $$E(X)=0$$.

Damit ergibt sich:

$$E(X)=(-5 \ \text{€}-a) \cdot \frac{2}{5}+(10 \ \text{€}-a) \cdot \frac{3}{10} +(50 \ \text{€}-a) \cdot \frac{1}{5}+(100 \ \text{€}-a) \cdot \frac{1}{10}=0 \\E(X)=21 \ \text{€}-a=0$$​​

Daraus folgt:

$$\underline{a=21 \ \text{€}}$$​​

Für den Spieleinsatz von $$21 \ \text{€}$$ wäre das Spiel also fair.