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Mathematik

Zufall und Wahrscheinlichkeit

Erwartungswert: Definition & Berechnung

Erklärvideo

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Lehrperson: Susanne

Zusammenfassung

Erwartungswert: Definition & Berechnung

Definition

Der Erwartungswert E(x)E(x)  einer Zufallsgröße XX  gibt an, welcher Wert für XX  auf lange Sicht im Durchschnitt erwartet werden kann, also welcher Wert sich im Durchschnitt ergibt, wenn das Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt wird.


Um den Erwartungswert  einer Zufallsgröße XX , die die Werte x1; x2; x3; ... xnx_1; \ x_2; \ x_3; \ ... \ x_n  annehmen kann, zu berechnen, gehst du wie folgt vor:



Vorgehen

1.

Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX .

2.

Multipliziere jeden Wert xix_i  mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere die Ergebnisse.


 Als Formel ergibt sich für den Erwartungswert:


E(x)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+... +xnP(X=xn)E(x)=x_1 \cdot P(X=x_1)+x_2 \cdot P(X=x_2)+ ... \ + x_n \cdot P(X=x_n)


​​

Faire Spiele

Wenn die Zufallsvariable XX  den Gewinn in einem Spiel mit zufälligen Elementen bezeichnet, so kann anhand des Erwartungswerts untersucht werden, ob das Spiel fair ist. Ein Spiel ist fair, wenn durchschnittlich so viel gewonnen wie verloren werden kann. Der Spielveranstalter würde also weder Gewinn noch Verlust machen. Bei einem fairen Spiel gilt:


E(X)=0E(X)=0​​


Beispiel:

Pro Runde kostet ein Spiel 10 €10 \ \text{€} . Aus 1010  Karten, die mit den Zahlen von 11  bis 1010  beschriftet sind, wird eine gezogen. Bei einer Karte mit einer Zahl kleiner als 55  müssen weitere 5 €5 \ \text{€}  gezahlt werden. Karten mit den Zahlen 55 66  und 77  erbringen einen Gewinn von 10 €10 \ \text{€}  , für die Zahlen 88  und 99  sogar 50 €50 \ \text{€}  und für die Karte mit der 1010  gibt es einen Gewinn von 100 €100 \ \text{€} . Es werden beliebig viele Runden gespielt.


Wie groß ist der zu erwartende Gewinn im Spiel? Ist das Spiel fair? Falls nicht, wie müsste der Einsatz verändern werden, damit das Spiel fair wird?

Zunächst wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XX  bestimmt. Dies geschieht in der folgenden Tabelle:

Gewinn xix_i
(abz. Spielkosten)

15 €-15 \ \text{€}

0 €0 \ \text{€}

40 €40 \ \text{€}

90 €90 \ \text{€}

P(X=xi)P(X=x_i)

410=25\frac{4}{10}=\frac{2}{5}

310\frac{3}{10}

210=15\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

110\frac{1}{10}

Erklärung

4 von 10 Karten verursachen eine Strafe von 5 €5 \ \text{€}

3 von 10 Karten bewirken einen Gewinn von 10 €10 \ \text{€}


2 von 10 Karten bewirken einen Gewinn von 50 €50 \ \text{€}

1 von 10 Karten bewirkt einen Gewinn von 100 €100 \ \text{€}




Hinweis:

Bei der Berechnung des Gewinns wurde jeweils vom erhaltenen Geld der Spieleinsatz (hier  10 €10 \ \text{€} ) abgezogen. Ist der Gewinn negativ, so handelt es sich um einen Verlust.


Nun wird aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Erwartungswert bestimmt:

E(x)=(15 €)P(X=15 €)+0 €P(X=0 €)+40 €P(X=40 €)+90 €P(X=90 €)E(X)=(15 €)25+40 €15+90 €110=11 €E(x)=(-15 \ \text{€}) \cdot P(X=-15 \ \text{€})+0 \ \text{€} \cdot P(X=0 \ \text{€})+40 \ \text{€} \cdot P(X=40 \ \text{€})+90 \ \text{€} \cdot P(X=90 \ \text{€}) \\E(X)=(-15 \ \text{€}) \cdot \frac{2}{5}+40 \ \text{€} \cdot \frac{1}{5}+90 \ \text{€} \cdot \frac{1}{10}= \underline{11 \ \text{€}}​​​


Das Spiel ist nicht fair, weil nicht E(X)=0E(X)=0  gilt. Langfristig würden die Spielbetreiber hier große Verluste und die Spieler*innen große Gewinne machen.


Damit das Spiel fair wird, müsste der Einsatz angepasst werden, der im Folgenden mit aa  bezeichnet wird. Die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:



Gewinn xix_i

5 €a-5 \ \text{€} -a

10 €a10 \ \text{€} -a

50 €a50 \ \text{€} -a

100 €a100 \ \text{€} -a

P(X=xi)P(X=x_i)

410=25\frac{4}{10}=\frac{2}{5}

310\frac{3}{10}

210=15\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

110\frac{1}{10}


Für den Erwartungswert soll nun gelten: E(X)=0E(X)=0.

Damit ergibt sich:

E(X)=(5 €a)25+(10 €a)310+(50 €a)15+(100 €a)110=0E(X)=21 €a=0E(X)=(-5 \ \text{€}-a) \cdot \frac{2}{5}+(10 \ \text{€}-a) \cdot \frac{3}{10} +(50 \ \text{€}-a) \cdot \frac{1}{5}+(100 \ \text{€}-a) \cdot \frac{1}{10}=0 \\E(X)=21 \ \text{€}-a=0​​

Daraus folgt:

a=21 €\underline{a=21 \ \text{€}}​​


Für den Spieleinsatz von 21 €21 \ \text{€} wäre das Spiel also fair.


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berechne ich den Erwartungswert?

Was ist ein faires Spiel in der Statistik?

Was ist der Erwartungswert?

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