Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Abhängigkeiten

Definition

Eine Abhängigkeit zwischen zwei Mengen stellt Beziehungen zwischen den Werten dar. Man spricht auch von einer Zuordnung. Einem Wert $$x$$​ wird ein Wert oder mehrere Werte zugeordnet.

Darstellung

Abhängigkeiten können in einer Tabelle oder einem Graphen dargestellt werden.

Tabelle	Die Tabelle stellt den Zusammenhang vom Jahr und der Anzahl Neugeborenen in Deutschland, die den Namen Laura oder David tragen, dar. Jahr 2015 2016 2017 2018 Laura 288 291 271 277 David 335 302 314 265
Graph	Der Graph stellt den Zusammenhang vom Jahr und der Anzahl Neugeborenen in Deutschland, die den Namen Laura oder David tragen, dar.

Funktionen

Definition

Eine Funktion ist eine Zuordnung oder Vorschrift, die jedem Wert $$x$$​ genau einen Wert $$y$$​ zuordnet. Funktionen lassen sich oft durch Terme beschreiben. Man unterscheidet zwischen der Funktionsvorschrift und Funktionsgleichung.

• $$x$$​ ist der Variablenwert
• $$f(x)$$​ oder $$y$$​ ist der Term- oder Funktionswert, abhängig von der Variablen $$x$$

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge $$\mathbb{D}$$​ einer Funktion besteht aus allen Werten, für die der Funktionswert berechnet werden soll. Wird keine Definitionsmenge angegeben, so sind alle Zahlen zugelassen: $$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​

Wertemenge

Die Menge aller Funktionswerte $$y$$​ der Definitionsmenge bildet die Wertemenge $$\mathbb{W}$$.

Beispiele

Funktionsgraph

Für jeden Wert $$x$$​ im Definitionsbereich wird das Wertepaar $$(x|f(x))$$​ im Koordinatensystem markiert. Alle markierten Punkte bilden den Funktionsgraphen der Funktion.

$$y=x^2-1$$

​​

Hinweis: Beim Erstellen des Funktionsgraphen berechnet man genügend Wertepaare und ergänzt den Graphen zu einer durchgezogenen Linie.

Punkt auf dem Graphen

Erfüllen die Koordinaten eines Punkts $$P(x|y)$$​ die Funktionsgleichung, so liegt er auf dem Funktionsgraphen.

Beispiel: Der Punkt $$P(1|0)$$​ liegt auf dem Funktionsgraphen von $$y=x^2+1-2x$$​

​$$1^2+1-2\cdot 1=0$$​​