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Quadratische Funktionen und Gleichungen

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

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Quadratische Funktionen und Gleichungen

Funktionsbegriff: Definition & Darstellung

Quadratische Funktionen: Definition & Darstellung

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Quadratische Gleichung: Nullstellenform aufstellen

Erklärvideo

Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Definition

Die Scheitelpunktformel ist eine Darstellungsform, mit der man direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen kann.

$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$

$a$ : Streckungs-/Stauchungsfaktor

$u$ : Verschiebung in x-Achsenrichtung

$v$ : Verschiebung in y-Achsenrichtung

Die Parameter u und v sind die Koordinaten des Scheitelpunktes: $S\left(u\middle| v\right)$

Begriffe

SCHEITELPUNKT

Der höchsten bzw. tiefste Punkt der Parabel.

NORMALPARABEL

Parabel für $a=1$ :

$f(x)=x^2$

Eigenschaften

Man kann die Parameter a, u und v als graphische Veränderung der Normalparabel interpretieren.

Streckfaktor $a$

$a>0$	$a<0$	$\left\|a\right\|>1$	$\left\|a\right\|<1$
Die Parabel ist nach oben geöffnet.	Die Parabel ist nach unten geöffnet.	Streckungsfaktor in y-Richtung	Stauchungsfaktor in y-Richtung

Verschiebungen $u$ und $v$

$u>0$	$u<0$
Die Parabel wird nach rechts verschoben.	Die Parabel wird nach links verschoben.

$v>0$	$v<0$
Die Parabel wird nach oben verschoben.	Die Parabel wird nach unten verschoben.

Tipp: Beachte hier, dass in der Scheitelpunktformel vor dem $u$ ein Minus steht. Wenn also in der Klammer $(x+1)^2$ steht, dann ist $u=-1$ 

Umwandeln Normalformel in Scheitelpunktformel

Durch die Verwendung der quadratischen Ergänzung:

VORGEHEN

1.	Klammere den Vorfaktor von $x^2$ aus für $x^2$ und $x$ . $f\left(x\right)=a\ \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$
2.	Quadratische Ergänzung: Ergänze den Term in der Klammer von $x^2$ und $x$ zu einer binomischen Formel. Ziehe die Ergänzung dahinter ab. $x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{Erg\ddot{a}nzt}-\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{abgezogen}$
3.	Bilde die Klammerform der binomischen Formel.
4.	Löse die Klammer aus Schritt 1 auf.

Beispiel

$f\left(x\right)=2x^2-4x+6$

Ausklammern:

$f(x)=2(x^2-2x)+6$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6$

Binomische Formel:

$f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6$

Äussere Klammer auflösen:

$\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}$

Umwandeln Scheitelpunktformel in Normalformel

VORGEHEN

1.	Rechne die Klammer aus
2.	Ordne die Terme.

Beispiel

$f(x)={2(x-3)}^2+7$

Ausrechnen:

$f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}$

Quadratische Funktion bestimmen mit Punkt und Scheitelpunkt

Gegeben ist ein Punkt auf der Funktion und der Scheitelpunkt. Das Ziel ist, den Parameter $a$ der Scheitelpunktformel zu bestimmen.

VORGEHEN

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktformel für $u$ und $v$ ein:

$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$

Setze den Punkt $P(x|y)$ in die Funktion ein:

$y={a\left(x-u\right)}^2+v$

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

Beispiel

Gegeben:

$S(1|4), P(0|-2)$

Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktformel ein:

$f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4$

Setze den Punkt P ein:

$-2={a\left(0-1\right)}^2+4$

$-2=a+4$

Löse nach a auf:

$a=-6$

Lösungen:

$a=-6, u=1\ und\ v=4$

Normalformel:

$\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}$

Leicht

3 Aufgaben

Mittel

3 Aufgaben

Schwierig

5 Aufgaben

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Grundlagen

Quadratische Funktionen: Definition & Darstellung

Überblick

Lernziele

Überblick

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Mit welcher Methode kann ich die Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln?

Du kannst die Normalform einer quadratischen Funktion mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umwandeln.

Wie lautet die Funktionsgleichung der Normalparabel?

Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet f(x)=x².

Welche Vorteile hat es, eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform anzugeben?

Ein Vorteil der Scheitelpunktform ist es, dass aus dieser Form - wie der Name bereits sagt - direkt den Scheitelpunkt abgelesen werden kann. Hat die Funktion f(x)=a(x-u)²+v, so ist der Scheitelpunkt S(u|v).

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Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Definition

Die Scheitelpunktformel ist eine Darstellungsform, mit der man direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen kann.

$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$

$a$ : Streckungs-/Stauchungsfaktor

$u$ : Verschiebung in x-Achsenrichtung

$v$ : Verschiebung in y-Achsenrichtung

Die Parameter u und v sind die Koordinaten des Scheitelpunktes: $S\left(u\middle| v\right)$

Begriffe

SCHEITELPUNKT

Der höchsten bzw. tiefste Punkt der Parabel.

NORMALPARABEL

Parabel für $a=1$ :

$f(x)=x^2$

Eigenschaften

Man kann die Parameter a, u und v als graphische Veränderung der Normalparabel interpretieren.

Streckfaktor $a$

$a>0$	$a<0$	$\left\|a\right\|>1$	$\left\|a\right\|<1$
Die Parabel ist nach oben geöffnet.	Die Parabel ist nach unten geöffnet.	Streckungsfaktor in y-Richtung	Stauchungsfaktor in y-Richtung

Verschiebungen $u$ und $v$

$u>0$	$u<0$
Die Parabel wird nach rechts verschoben.	Die Parabel wird nach links verschoben.

$v>0$	$v<0$
Die Parabel wird nach oben verschoben.	Die Parabel wird nach unten verschoben.

Tipp: Beachte hier, dass in der Scheitelpunktformel vor dem $u$ ein Minus steht. Wenn also in der Klammer $(x+1)^2$ steht, dann ist $u=-1$ 

Umwandeln Normalformel in Scheitelpunktformel

Durch die Verwendung der quadratischen Ergänzung:

VORGEHEN

1.	Klammere den Vorfaktor von $x^2$ aus für $x^2$ und $x$ . $f\left(x\right)=a\ \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$
2.	Quadratische Ergänzung: Ergänze den Term in der Klammer von $x^2$ und $x$ zu einer binomischen Formel. Ziehe die Ergänzung dahinter ab. $x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{Erg\ddot{a}nzt}-\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{abgezogen}$
3.	Bilde die Klammerform der binomischen Formel.
4.	Löse die Klammer aus Schritt 1 auf.

Beispiel

$f\left(x\right)=2x^2-4x+6$

Ausklammern:

$f(x)=2(x^2-2x)+6$

Quadratische Ergänzung:

$f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6$

Binomische Formel:

$f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6$

Äussere Klammer auflösen:

$\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}$

Umwandeln Scheitelpunktformel in Normalformel

VORGEHEN

1.	Rechne die Klammer aus
2.	Ordne die Terme.

Beispiel

$f(x)={2(x-3)}^2+7$

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$f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}$

Quadratische Funktion bestimmen mit Punkt und Scheitelpunkt

Gegeben ist ein Punkt auf der Funktion und der Scheitelpunkt. Das Ziel ist, den Parameter $a$ der Scheitelpunktformel zu bestimmen.

VORGEHEN

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktformel für $u$ und $v$ ein:

$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$

Setze den Punkt $P(x|y)$ in die Funktion ein:

$y={a\left(x-u\right)}^2+v$

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

Beispiel

Gegeben:

$S(1|4), P(0|-2)$

Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktformel ein:

$f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4$

Setze den Punkt P ein:

$-2={a\left(0-1\right)}^2+4$

$-2=a+4$

Löse nach a auf:

$a=-6$

Lösungen:

$a=-6, u=1\ und\ v=4$

Normalformel:

$\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}$

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Mit welcher Methode kann ich die Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln?

Du kannst die Normalform einer quadratischen Funktion mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umwandeln.

Wie lautet die Funktionsgleichung der Normalparabel?

Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet f(x)=x².

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Begriffe

SCHEITELPUNKT

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Eigenschaften

Streckfaktor aaa​

Verschiebungen uuu​ und vvv​

Umwandeln Normalformel in Scheitelpunktformel

VORGEHEN

Beispiel

Umwandeln Scheitelpunktformel in Normalformel

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Wie lautet die Funktionsgleichung der Normalparabel?

Welche Vorteile hat es, eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform anzugeben?

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Verschiebungen uuu​ und vvv​

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