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Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

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Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

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Lehrperson: Nele
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Erklärvideo 1

Erklärvideo 2

Zusammenfassung


Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

Definition

Die Scheitelpunktformel ist eine Darstellungsform, mit der man direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmen kann.

f(x)=a(x−u)2+vf(x)={a\left(x-u\right)}^2+vf(x)=a(x−u)2+v​​

aaa​: Streckungs-/Stauchungsfaktor

uuu​: Verschiebung in x-Achsenrichtung

vvv​: Verschiebung in y-Achsenrichtung


Die Parameter u und v sind die Koordinaten des Scheitelpunktes: S(u|v)S\left(u\middle| v\right)S(u∣v)​


Begriffe

SCHEITELPUNKT

Der höchsten bzw. tiefste Punkt der Parabel.

NORMALPARABEL

Parabel für a=1a=1a=1​:

f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2​​



Eigenschaften

Man kann die Parameter a, u und v als graphische Veränderung der Normalparabel interpretieren.


Streckfaktor aaa​

​a>0a>0a>0​​
​a<0a<0a<0​​
​∣a∣>1\left|a\right|>1∣a∣>1​​
​∣a∣<1\left|a\right|<1∣a∣<1​​

Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Die Parabel ist nach unten geöffnet.

Streckungsfaktor in y-Richtung

Stauchungsfaktor in y-Richtung

Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen
Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen
Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen
Mathematik; Quadratische Funktionen; 8. Klasse Gymnasium; Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen



Verschiebungen uuu​ und vvv​


​

​
​u>0u>0u>0​​
​u<0u<0u<0​​
Die Parabel wird nach rechts verschoben.
Die Parabel wird nach links verschoben.
​v>0v>0v>0​​
​v<0v<0v<0​​
Die Parabel wird nach oben verschoben.
Die Parabel wird nach unten verschoben.


Tipp: Beachte hier, dass in der Scheitelpunktformel vor dem uuu ein Minus steht. Wenn also in der Klammer (x+1)2(x+1)^2(x+1)2 steht, dann ist u=−1u=-1u=−1​



Umwandeln Normalformel in Scheitelpunktformel

Durch die Verwendung der quadratischen Ergänzung:


VORGEHEN

1.

Klammere den Vorfaktor von x2x^2x2​ aus für x2x^2x2​ und xxx​.

f(x)=a (x2+bax)+cf\left(x\right)=a\ \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+cf(x)=a (x2+ab​x)+c​​

2.

Quadratische Ergänzung:

Ergänze den Term in der Klammer von x2x^2x2​ und xxx​ zu einer binomischen Formel. Ziehe die Ergänzung dahinter ab.

x2+bax+(b2a)2⏟Erga¨nzt−(b2a)2⏟abgezogenx^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{Erg\ddot{a}nzt}-\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{abgezogen}x2+ab​x+Erga¨nzt(2ab​)2​​−abgezogen(2ab​)2​​​​

3.

Bilde die Klammerform der binomischen Formel.

4.

Löse die Klammer aus Schritt 1 auf.


Beispiel 

f(x)=2x2−4x+6f\left(x\right)=2x^2-4x+6f(x)=2x2−4x+6​​


Ausklammern:

f(x)=2(x2−2x)+6f(x)=2(x^2-2x)+6f(x)=2(x2−2x)+6​​


Quadratische Ergänzung:

f(x)=2(x2−2x+1−1⏟!)+6f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6f(x)=2(x2−2x+!1−1​​)+6​​


Binomische Formel:

f(x)=2((x−1)2−1)+6f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6f(x)=2((x−1)2−1)+6​​


Äussere Klammer auflösen:

f(x)=2(x−1)2+4‾\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}f(x)=2(x−1)2+4​​​



Umwandeln Scheitelpunktformel in Normalformel

VORGEHEN

1.

Rechne die Klammer aus

2.

Ordne die Terme.


Beispiel 

f(x)=2(x−3)2+7f(x)={2(x-3)}^2+7f(x)=2(x−3)2+7​​

Ausrechnen:

f(x)=2(x2−6x+9)+7f(x)=2x2−12x+18+7f(x)=2x2−12x+25‾f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}f(x)=2(x2−6x+9)+7f(x)=2x2−12x+18+7f(x)=2x2−12x+25​​​



Quadratische Funktion bestimmen mit Punkt und Scheitelpunkt

Gegeben ist ein Punkt auf der Funktion und der Scheitelpunkt. Das Ziel ist, den Parameter aaa​ der Scheitelpunktformel zu bestimmen.


VORGEHEN

1.

Setze den Scheitelpunkt  in die Scheitelpunktformel für uuu​ und vvv​ ein: 

f(x)=a(x−u)2+vf(x)={a\left(x-u\right)}^2+vf(x)=a(x−u)2+v​​

2.

Setze den Punkt P(x∣y)P(x|y)P(x∣y)​ in die Funktion ein:

y=a(x−u)2+vy={a\left(x-u\right)}^2+vy=a(x−u)2+v​​

3.

Löse die Gleichung nach aaa​ auf.


Beispiel

Gegeben: 

S(1∣4),P(0∣−2)S(1|4), P(0|-2)S(1∣4),P(0∣−2)​​


Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelpunktformel ein:

f(x)=a(x−1)2+4f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4f(x)=a(x−1)2+4​​


Setze den Punkt P ein:

−2=a(0−1)2+4-2={a\left(0-1\right)}^2+4−2=a(0−1)2+4​​

−2=a+4-2=a+4−2=a+4​​


Löse nach a auf:

a=−6a=-6a=−6​​

Lösungen: 

a=−6,u=1 und v=4a=-6, u=1\ und\ v=4a=−6,u=1 und v=4​​


Normalformel: 

f(x)=−6(x−1)2+4‾\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}f(x)=−6(x−1)2+4​​​






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Quadratische Funktionen: Definition & Darstellung

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Scheitelpunktformel & Scheitelpunkt bestimmen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Mit welcher Methode kann ich die Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln?

Du kannst die Normalform einer quadratischen Funktion mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umwandeln.

Wie lautet die Funktionsgleichung der Normalparabel?

Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet f(x)=x².

Welche Vorteile hat es, eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform anzugeben?

Ein Vorteil der Scheitelpunktform ist es, dass aus dieser Form - wie der Name bereits sagt - direkt den Scheitelpunkt abgelesen werden kann. Hat die Funktion f(x)=a(x-u)²+v, so ist der Scheitelpunkt S(u|v).

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