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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Bernoulliexperiment und -kette

Bernoulli-Experiment

Definition

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen- Erfolg (xi=1)(x_i=1)(xi​=1)​ oder Misserfolg (xi=0)(x_i=0)(xi​=0).​ Die Wahrscheinlichkeit des einen Ergebnisses ist die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.



​xix_ixi​​​

​P(X=xi)P(X=x_i)P(X=xi​)​​

​000​​

​ppp​​

​111​​

​1−p1-p1−p​​



Bernoulli-Kette

Definition

Eine Bernoulli-Kette der Länge nnn​ erhält man durch die nnn​-fache Durchführung von unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Bei jeder Durchführung ist die Wahrscheinlichkeit gleich groß. Mit Bernoulli-Ketten lassen sich zum Beispiel die Anzahl Erfolge kkk in nnn Versuchen untersuchen und man kann berechnen, wie wahrscheinlich das Erreichen einer gewissen Anzahl von Erfolgen ist.



Beispiele

Eine Münze wird 555​ Mal geworfen.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt nach jedem Wurf und die Wahrscheinlichkeit gleichbleibt. (p=1−p=0,5)(p=1 -p=0,5)(p=1−p=0,5) Hier könnte man das Auftreten des Ereignisses „Kopf“ als Erfolg definieren.

Man zieht aus einer Urne fünf Mal entweder eine rote oder blaue Kugel ohne Zurücklegen.

Hier ist es keine Bernoulli-Kette, da sich nach jedem Zug die Wahrscheinlichkeit ändert.



Beispiel:

Angenommen, beim Werfen eines Basketballs auf einen Korb hat man eine 25%25\%25%-Trefferchance. Wenn man drei Mal auf den Korb wirft, wie viele Möglichkeiten für keinen, einen, zwei oder drei Treffer gibt es? Wie wahrscheinlich sind diese Möglichkeiten? (1 bezeichnet Treffer, 0 bezeichnet nicht getroffen.)


Mathematik; Binomialverteilung; 10. Klasse Gymnasium; Bernoulliexperiment und -kette



Wahrscheinlichkeitsfunktion

Wenn die Zufallsgröße XXX die Anzahl der Treffer beschreibt, erhält man als Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei nnn Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments kkk Mal ein Erfolg eintritt, die folgende Formel:


​P(X=k)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−kP(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}P(X=k)=(kn​)⋅pk⋅(1−p)n−k​​

​nnn​​

Anzahl Durchführungen

​kkk​​

Anzahl Erfolge

​ppp​​

Wahrscheinlichkeit für Erfolg in einem Bernoulli-Experiment


Anmerkung: Die Formel wird auch als Bernoulli-Formel bezeichnet.

Hinweis: (nk)\binom{n}{k}(kn​) ist der Binomialkoeffizient. Dieser gibt die Anzahl Möglichkeiten an, aus nnn​ Elementen kkk Elemente auszuwählen. Man kann den Binomialkoeffizienten folgendermaßen berechnen:


​(nk)=n!k!⋅(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}(kn​)=k!⋅(n−k)!n!​​​


Beispiel:

Eine gezinkte Münze zeigt zu 20 % Zahl an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 101010 Würfen 555 Mal Zahl zu werfen?


​P(X=5)=(105)⋅0,25⋅(1−0,2)(10−5)=0,026‾P(X=5)=\binom{10}{5}\cdot 0,2^5 \cdot (1-0,2)^{(10-5)}=\underline{0,026}P(X=5)=(510​)⋅0,25⋅(1−0,2)(10−5)=0,026​​​



Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von XXX heißt Binomialverteilung. Dann sagt man, XXX ist binomialverteilt mit den Parametern nnn​ und ppp​. Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, addiert man alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf für die Fälle, dass X=0,X=1,...X=0, X=1, ...X=0,X=1,...​ bis hin zu X=xX=xX=x​:


​FX(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=xF_X (x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1) +_…+P(X=xFX​(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+…​+P(X=x​​





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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wer ist Bernoulli?

Daniel Bernoulli war ein Schweizer Mathematiker.

Was ist eine Bernoulli-Kette?

Eine Bernoulli-Kette der Länge n erhält man durch die n-fache Durchführung von unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Bei jeder Durchführung ist die Wahrscheinlichkeit gleich groß.

Was ist ein Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen- Erfolg (x_i=1) oder Misserfolg (x_i=0).

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