Bernoulliexperiment und -kette

Bernoulli-Experiment

Definition

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen- Erfolg $$(x_i=1)$$​ oder Misserfolg $$(x_i=0)$$.​ Die Wahrscheinlichkeit des einen Ergebnisses ist die Gegenwahrscheinlichkeit des anderen.

Bernoulli-Kette

Definition

Eine Bernoulli-Kette der Länge $$n$$​ erhält man durch die $$n$$​-fache Durchführung von unabhängigen Bernoulli-Experimenten. Bei jeder Durchführung ist die Wahrscheinlichkeit gleich groß. Mit Bernoulli-Ketten lassen sich zum Beispiel die Anzahl Erfolge $$k$$ in $$n$$ Versuchen untersuchen und man kann berechnen, wie wahrscheinlich das Erreichen einer gewissen Anzahl von Erfolgen ist.

Beispiele

Beispiel:

Angenommen, beim Werfen eines Basketballs auf einen Korb hat man eine $$25\%$$-Trefferchance. Wenn man drei Mal auf den Korb wirft, wie viele Möglichkeiten für keinen, einen, zwei oder drei Treffer gibt es? Wie wahrscheinlich sind diese Möglichkeiten? (1 bezeichnet Treffer, 0 bezeichnet nicht getroffen.)

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Wenn die Zufallsgröße $$X$$ die Anzahl der Treffer beschreibt, erhält man als Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $$n$$ Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments $$k$$ Mal ein Erfolg eintritt, die folgende Formel:

Anmerkung: Die Formel wird auch als Bernoulli-Formel bezeichnet.

Hinweis: $$\binom{n}{k}$$ ist der Binomialkoeffizient. Dieser gibt die Anzahl Möglichkeiten an, aus $$n$$​ Elementen $$k$$ Elemente auszuwählen. Man kann den Binomialkoeffizienten folgendermaßen berechnen:

​$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$​​

Beispiel:

Eine gezinkte Münze zeigt zu 20 % Zahl an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $$10$$ Würfen $$5$$ Mal Zahl zu werfen?

​$$P(X=5)=\binom{10}{5}\cdot 0,2^5 \cdot (1-0,2)^{(10-5)}=\underline{0,026}$$​​

Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $$X$$ heißt Binomialverteilung. Dann sagt man, $$X$$ ist binomialverteilt mit den Parametern $$n$$​ und $$p$$​. Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, addiert man alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen auf für die Fälle, dass $$X=0, X=1, ...$$​ bis hin zu $$X=x$$​:

​$$F_X (x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1) +_…+P(X=x$$​​