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Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Zusammenfassung

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Definition

Das Vektorprodukt (= Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen dritten Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu den beiden ursprünglichen Vektoren steht.

a×b=n\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow n ​​

Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Berechnung

Formel

a×b=(aybzazbyazbxaxbzaxbyaybx)=n\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \begin{pmatrix} a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end {pmatrix}=\overrightarrow n ​​


Trick für die Berechnung

1.

Setze die beiden Vektoren zweimal übereinander.

2.

Verknüpfe die Komponenten wie skizziert, um das korrekte Vektorprodukt zu erhalten.

Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Eigenschaften

  • n\overrightarrow n ​ ist senkrecht (orthogonal) zu a\overrightarrow a und b\overrightarrow b.
  • Der Betrag von n\overrightarrow n ist der Flächeninhalt des von a\overrightarrow a  und b\overrightarrow b​ aufgespannten Parallelogramms (vgl. obige Skizze)
  • Für kollineare (parallele) Vektoren a\overrightarrow a  und b\overrightarrow b gilt: a×b=0\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow 0



Anwendungen des Vektorprodukts

Flächenformel für Dreiecke

Benötigt werden zwei Vektoren, die die zwei Außenseiten des Dreiecks beschreiben.

Für die Fläche des Dreiecks gilt:

FABC=a×b2F_{ABC}=\frac {\lvert \overrightarrow a \times \overrightarrow b \rvert } 2​​

Hinweis: Es spielt keine Rolle, welche zwei Vektoren gewählt werden.

Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Spatvolumen (Parallelepiped)

Volumen von einem Spat („schiefer Quader“)


Für die Berechnung werden drei Vektoren benötigt, die zwei Außenseiten des Spats beschreiben.

V=(a×b)cV=|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |​​

Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Pyramidenvolumen

VIERECKIGE GRUNDFLÄCHE

a\overrightarrow a​ und b\overrightarrow b bezeichnen Seiten der Grundfläche

c\overrightarrow c​ bezeichnet eine beliebige Seitenkante

V=(a×b)c3V=\frac {|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |}3​​

Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

DREIECKIGE GRUNDFLÄCHE

a\overrightarrow a​ und b\overrightarrow b bezeichnen Seiten der Grundfläche

c\overrightarrow c​ bezeichnen eine beliebige Seitenkante

V=(a×b)c6V=\frac {|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |}6​​

Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren?

Wofür wird das Kreuzprodukt verwendet?

Wie steht das Ergebnis des Kreuzprodukts geometrisch zu den beiden Vektoren, deren Kreuzprodukt man bildet?

Beta

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