Das Vektorprodukt (= Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen dritten Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu den beiden ursprünglichen Vektoren steht.

$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow n$

Berechnung

Formel

$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \begin{pmatrix} a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end {pmatrix}=\overrightarrow n$

Trick für die Berechnung

1.	Setze die beiden Vektoren zweimal übereinander.
2.	Verknüpfe die Komponenten wie skizziert, um das korrekte Vektorprodukt zu erhalten.

Eigenschaften

$\overrightarrow n$ ist senkrecht (orthogonal) zu $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ .
Der Betrag von $\overrightarrow n$ ist der Flächeninhalt des von $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ aufgespannten Parallelogramms (vgl. obige Skizze)
Für kollineare (parallele) Vektoren $\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ gilt: $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow 0$

Anwendungen des Vektorprodukts

Flächenformel für Dreiecke

Benötigt werden zwei Vektoren, die die zwei Außenseiten des Dreiecks beschreiben.

Für die Fläche des Dreiecks gilt:

$F_{ABC}=\frac {\lvert \overrightarrow a \times \overrightarrow b \rvert } 2$

Hinweis: Es spielt keine Rolle, welche zwei Vektoren gewählt werden.

Spatvolumen (Parallelepiped)

Volumen von einem Spat („schiefer Quader“)

Für die Berechnung werden drei Vektoren benötigt, die zwei Außenseiten des Spats beschreiben.

$V=|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |$

Pyramidenvolumen

VIERECKIGE GRUNDFLÄCHE

$\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ bezeichnen Seiten der Grundfläche

$\overrightarrow c$ bezeichnet eine beliebige Seitenkante

$V=\frac {|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |}3$

DREIECKIGE GRUNDFLÄCHE

$\overrightarrow a$ und $\overrightarrow b$ bezeichnen Seiten der Grundfläche

$\overrightarrow c$ bezeichnen eine beliebige Seitenkante

$V=\frac {|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |}6$

Leicht

2 Aufgaben

Mittel

3 Aufgaben

Schwierig

3 Aufgaben

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Grundlagen

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren?

Das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren ergibt den Nullvektor.

Wofür wird das Kreuzprodukt verwendet?

Man kann das Kreuzprodukt beispielsweise anwenden, um Flächeninhalte von Dreiecken oder Parallelogrammen zu bestimmen. Auch bei Berechnung von Volumina, beispielsweise von Pyramiden, findet das Kreuzprodukt Anwendung.

Wie steht das Ergebnis des Kreuzprodukts geometrisch zu den beiden Vektoren, deren Kreuzprodukt man bildet?

Das Ergebnis des Kreuzprodukts steht orthogonal (=senkrecht) auf den beiden Vektoren, deren Kreuzprodukt man bildet.

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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