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Zusammenfassung

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Definition

Das Vektorprodukt (= Kreuzprodukt) von zwei Vektoren bildet einen dritten Vektor, der orthogonal (senkrecht) zu den beiden ursprünglichen Vektoren steht.

a→×b→=n→\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow n a×b=n​​
Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

​

Berechnung

Formel

a→×b→=(aybz−azbyazbx−axbzaxby−aybx)=n→\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \begin{pmatrix} a_yb_z-a_zb_y\\a_zb_x-a_xb_z\\a_xb_y-a_yb_x\end {pmatrix}=\overrightarrow n a×b=​ay​bz​−az​by​az​bx​−ax​bz​ax​by​−ay​bx​​​=n​​


Trick für die Berechnung

1.

Setze die beiden Vektoren zweimal übereinander.

2.

Verknüpfe die Komponenten wie skizziert, um das korrekte Vektorprodukt zu erhalten.

​

Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Eigenschaften

  • n→\overrightarrow n n​ ist senkrecht (orthogonal) zu a→\overrightarrow aa​ und b→\overrightarrow bb​.
  • Der Betrag von n→\overrightarrow nn​ ist der Flächeninhalt des von a→\overrightarrow a a​ und b→\overrightarrow bb​ aufgespannten Parallelogramms (vgl. obige Skizze)
  • Für kollineare (parallele) Vektoren a→\overrightarrow a a​ und b→\overrightarrow bb​ gilt: a→×b→=0→\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow 0a×b=0​


​

Anwendungen des Vektorprodukts

Flächenformel für Dreiecke

Benötigt werden zwei Vektoren, die die zwei Außenseiten des Dreiecks beschreiben.

Für die Fläche des Dreiecks gilt:

FABC=∣a→×b→∣2F_{ABC}=\frac {\lvert \overrightarrow a \times \overrightarrow b \rvert } 2FABC​=2∣a×b∣​​​

Hinweis: Es spielt keine Rolle, welche zwei Vektoren gewählt werden.
Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Spatvolumen (Parallelepiped)

Volumen von einem Spat („schiefer Quader“)


Für die Berechnung werden drei Vektoren benötigt, die zwei Außenseiten des Spats beschreiben.

V=∣(a→×b→)⋅c→∣V=|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |V=∣(a×b)⋅c∣​​
Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung


Pyramidenvolumen

VIERECKIGE GRUNDFLÄCHE

a→\overrightarrow aa​ und b→\overrightarrow bb​ bezeichnen Seiten der Grundfläche

c→\overrightarrow cc​ bezeichnet eine beliebige Seitenkante

V=∣(a→×b→)⋅c→∣3V=\frac {|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |}3V=3∣(a×b)⋅c∣​​​
Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

DREIECKIGE GRUNDFLÄCHE

a→\overrightarrow aa​ und b→\overrightarrow bb​ bezeichnen Seiten der Grundfläche

c→\overrightarrow cc​ bezeichnen eine beliebige Seitenkante

V=∣(a→×b→)⋅c→∣6V=\frac {|(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) \cdot \overrightarrow c |}6V=6∣(a×b)⋅c∣​​​
Mathematik; Vektoren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung




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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren?

Das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren ergibt den Nullvektor.

Wofür wird das Kreuzprodukt verwendet?

Man kann das Kreuzprodukt beispielsweise anwenden, um Flächeninhalte von Dreiecken oder Parallelogrammen zu bestimmen. Auch bei Berechnung von Volumina, beispielsweise von Pyramiden, findet das Kreuzprodukt Anwendung.

Wie steht das Ergebnis des Kreuzprodukts geometrisch zu den beiden Vektoren, deren Kreuzprodukt man bildet?

Das Ergebnis des Kreuzprodukts steht orthogonal (=senkrecht) auf den beiden Vektoren, deren Kreuzprodukt man bildet.

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