Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

Summen, Produkte und Quotienten

Aus gegebenen einzelnen Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ kann man durch die vier Grundrechenarten neue Funktionen erhalten. In den nachfolgenden Beispielen werden die Funktionen $u\left(x\right)=x^2+1$ und $v\left(x\right)=x-2$ betrachtet.

Mathematik; Gleichungen und Funktionen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

Ableitungen von Summen, Produkten und Quotienten

Hierfür werden jeweils wieder die Funktionen $u\left(x\right)=x^2+1$ und $v\left(x\right)=x-2$ betrachtet.

Summe

Wenn eine Funktion $f(x)$ aus der Summe von mehreren Funktionen erhalten wird, also $f\left(x\right)=u\left(x\right)+v(x)$ , kann man die Ableitung berechnen, indem man die Ableitungen der einzelnen Funktionen aufaddiert:

$f´(x)=u´(x)+v´(x)$

Beispiel

$f´(x)=(x^2+x-1´)=(x^2+1)´+(x-2´)=\underline{2x+1}$

Differenz

Wenn eine Funktion $f(x)$ aus der Differenz von mehreren Funktionen erhalten wird, also $f\left(x\right)=u\left(x\right)-v(x)$ , kann man die Ableitung berechnen, indem man die Differenz der Ableitungen der einzelnen Funktionen bildet:

$f´x=u´x-v´(x)$

Beispiel

$f´(x)=(x^2-x+3´)=(x^2+1)´-(x-2)´=\underline{2x-1}$

Produkt

Wenn eine Funktion $f(x)$ aus dem Produkt von mehreren Funktionen erhalten wird, also $f\left(x\right)=u\left(x\right)-v(x)$ , erhält man die Ableitung der Funktion aus der Produktregel:

$f´(x)=u´(x)-v´(x)$

Beispiel

$f´(x)=(x^3-2x^2+x-2)´=(x^2+1)´\cdot (x-2) +\ \left(x-2\right)´\cdot x^2+1=2x\cdot\left(x-2\right)+x^2+1=\underline{3x^2-4x+1}$

Quotient

Wenn eine Funktion aus dem Quotienten von mehreren Funktionen erhalten wird, also $f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v(x)}$ , erhält man die Ableitung der Funktion aus der Quotientenregel:

$f´(x)=\frac{u´(x)\cdot v(x)-v´(x)\cdot u(x)}{[vx]^2}$

Beispiel

$f´(x)=(\frac{x^2+1}{x-2})'=\frac{(x^2+1)´\cdot (x-2)-(x-2)´\cdot (x^2+1)}{\lbrack x-22\rbrack }=\frac {2x \cdot (x-2)-(x^2+1)}{ x^2-4x+4}$

$=\frac{2x^2-4x-x^2-1}{x^2-4x+4}=\underline{\frac{x^2-4x-1}{x^2-4x+4}}$

Verkettungen von Funktionen

Man kann außerdem neue Funktionen erhalten, indem man von einer Funktion eine (andere) Funktion bildet, also zwei Funktionen miteinander verkettet. Es wird im Funktionsterm von $u(x)$ jedes $x$ durch $v(x)$ ersetzt. Man schreibt:

$f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)=v\ ° u$

Hierbei ist $v(x)$ die innere Funktion und $u(x)$ die äußere Funktion.

Beachte dabei, dass die Verkettung von zwei Funktionen im Allgemeinen nicht kommutativ ist:

$u(v\left(x\right))\neq v(u\left(x\right))$

Beispiel

Die Verkettung der Funktionen $u\left(x\right)=sin(x)$ und $v\left(x\right)=\frac{x}{2}$ ist

$f\left(x\right)=v\ ° u=u(v(x))=\underline{sin(\frac x2)}$

Kettenregel

Die Kettenregel kommt zum Einsatz, wenn man miteinander verkettete Funktionen ableiten möchte.

Dabei gilt, dass die Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=\ v\ ° u=u(v(x))$ gegeben ist durch die Ableitung der äußeren Funktion verkettet mit der inneren Funktion, an welche zum Schluss die Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird, also:

$f´(x)=(v ° u)´=u´(v(x))\cdot v´(x)$

Beispiel

Wie im vorigen Beispiel gilt $u\left(x\right)=sin(x)$ und $v\left(x\right)=\frac{x}{2}$ . Also ist $f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)=sin\left(\frac{x}{2}\right)$

Dann ist die Ableitung von $f\left(x\right):$

$f´(x)=u´(v(x))\cdot v´(x)=\underline{cos⁡(\frac x2)\cdot \frac 12}$

Weil $\sin{\left(x\right)}´=cos(x)$ und $\left(\frac{x}{2}\right)´=\frac12$ ist.