Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

Summen, Produkte und Quotienten

Aus gegebenen einzelnen Funktionen $$u(x)$$​ und $$v(x)$$​ kann man durch die vier Grundrechenarten neue Funktionen erhalten. In den nachfolgenden Beispielen werden die Funktionen $$u\left(x\right)=x^2+1$$​ und $$v\left(x\right)=x-2$$​ betrachtet.

Ableitungen von Summen, Produkten und Quotienten

Hierfür werden jeweils wieder die Funktionen $$u\left(x\right)=x^2+1$$​ und $$v\left(x\right)=x-2$$​ betrachtet.

Summe

Wenn eine Funktion $$f(x)$$​ aus der Summe von mehreren Funktionen erhalten wird, also $$f\left(x\right)=u\left(x\right)+v(x)$$​, kann man die Ableitung berechnen, indem man die Ableitungen der einzelnen Funktionen aufaddiert:

​$$f´(x)=u´(x)+v´(x)$$​​

Beispiel

$$f´(x)=(x^2+x-1´)=(x^2+1)´+(x-2´)=\underline{2x+1}$$​​

Differenz

Wenn eine Funktion $$f(x)$$​ aus der Differenz von mehreren Funktionen erhalten wird, also $$f\left(x\right)=u\left(x\right)-v(x)$$​​, kann man die Ableitung berechnen, indem man die Differenz der Ableitungen der einzelnen Funktionen bildet:

​$$f´x=u´x-v´(x)$$​​

Beispiel

$$f´(x)=(x^2-x+3´)=(x^2+1)´-(x-2)´=\underline{2x-1}$$​​

Produkt

Wenn eine Funktion $$f(x)$$​ aus dem Produkt von mehreren Funktionen erhalten wird, also $$f\left(x\right)=u\left(x\right)-v(x)$$​, erhält man die Ableitung der Funktion aus der Produktregel:

​$$f´(x)=u´(x)-v´(x)$$​​

Beispiel

​$$f´(x)=(x^3-2x^2+x-2)´=(x^2+1)´\cdot (x-2) +\ \left(x-2\right)´\cdot x^2+1=2x\cdot\left(x-2\right)+x^2+1=\underline{3x^2-4x+1}$$​​

Quotient

Wenn eine Funktion aus dem Quotienten von mehreren Funktionen erhalten wird, also $$f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v(x)}$$​, erhält man die Ableitung der Funktion aus der Quotientenregel:

$$f´(x)=\frac{u´(x)\cdot v(x)-v´(x)\cdot u(x)}{[vx]^2}$$​​

Beispiel

$$f´(x)=(\frac{x^2+1}{x-2})'=\frac{(x^2+1)´\cdot (x-2)-(x-2)´\cdot (x^2+1)}{\lbrack x-22\rbrack }=\frac {2x \cdot (x-2)-(x^2+1)}{ x^2-4x+4}$$​​

$$=\frac{2x^2-4x-x^2-1}{x^2-4x+4}=\underline{\frac{x^2-4x-1}{x^2-4x+4}}$$​​

Verkettungen von Funktionen

Man kann außerdem neue Funktionen erhalten, indem man von einer Funktion eine (andere) Funktion bildet, also zwei Funktionen miteinander verkettet. Es wird im Funktionsterm von $$u(x)$$​ jedes $$x$$​ durch $$v(x)$$​ ersetzt. Man schreibt:

$$f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)=v\ ° u$$​​

Hierbei ist $$v(x)$$​ die innere Funktion und $$u(x)$$​ die äußere Funktion.

Beachte dabei, dass die Verkettung von zwei Funktionen im Allgemeinen nicht kommutativ ist:

$$u(v\left(x\right))\neq v(u\left(x\right))$$​​

Beispiel

Die Verkettung der Funktionen $$u\left(x\right)=sin(x)$$​ und $$v\left(x\right)=\frac{x}{2}$$ ist 

​$$f\left(x\right)=v\ ° u=u(v(x))=\underline{sin(\frac x2)}$$​​

Kettenregel

Die Kettenregel kommt zum Einsatz, wenn man miteinander verkettete Funktionen ableiten möchte.

Dabei gilt, dass die Ableitung der Funktion $$f\left(x\right)=\ v\ ° u=u(v(x))$$ gegeben ist durch die Ableitung der äußeren Funktion verkettet mit der inneren Funktion, an welche zum Schluss die Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird, also:

​$$f´(x)=(v ° u)´=u´(v(x))\cdot v´(x)$$​​

Beispiel

Wie im vorigen Beispiel gilt $$u\left(x\right)=sin(x)$$ und $$v\left(x\right)=\frac{x}{2}$$​ . Also ist $$f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)=sin\left(\frac{x}{2}\right)$$​ 

Dann ist die Ableitung von $$f\left(x\right):$$​​

​$$f´(x)=u´(v(x))\cdot v´(x)=\underline{cos⁡(\frac x2)\cdot \frac 12}$$​​

Weil $$\sin{\left(x\right)}´=cos(x)$$​ und $$\left(\frac{x}{2}\right)´=\frac12$$​ ist.