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Erklärvideo

Lehrperson: Elli

Zusammenfassung

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten (ganzzahlige positive) beinhaltet Terme einer Variablen in verschiedenen Potenzen und hat die Form:

$f\left(x\right)=\ldots+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x\ +\ a_0$

Es gilt:

$a_n\in\mathbb{R}$ : reelle Koeffizienten
Exponenten sind natürliche Zahlen: $0,1,2,3,\ldots.$
$0,1,2,3,\ldots.$

Grad

Der Grad einer Funktion ist der höchste vorkommende Exponent der Variable.

Hinweis: Die Graphen von Basisfunktion mit natürlichen Exponenten heißen Parabeln.

Beispiel

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^4+2x^3+x^2+1$ hat Grad 4.

Basisfunktionen

Terme der Form $x,x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots$ heißen Basisfunktionen. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.

f\left(x\right)=x

f\left(x\right)=x^2

f\left(x\right)=x^3

f\left(x\right)=x^4

f\left(x\right)=x^5

f\left(x\right)=\ \ldots

Definitionsbereich $\mathbb{D}$

In die Potenzfunktion mit natürlichen Exponentenkönnen alle reellen Zahlen eingesetzt werden:

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Wertebereich $\mathbb{W}$

GRAD UNGERADE

(ALLE FUNKTIONEN)

Die $y$ -Werte können beliebige reelle Zahlen annehmen:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}$

GRAD GERADE

(BASISFUNKTIONEN)

Die $y$ -Werte sind immer positiv:

$\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+$

Hinweis: Verschiebt man die Basisfunktion in y-Richtung (Beispiel: $f\left(x\right)=x^2+4$ ) so ändert sich für der Wertebereich entsprechen der Verschiebung ( $\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq4$ )

Darstellung

Exponent 1

x

Exponent gerade

x^2, x^4, x^6, ...

Exponent ungerade

x^3, x^5, x^7, ...

Mathematik; Potenzfunktionen; 9. Klasse Gymnasium; Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Punktsymmetrisch zum Ursprung:
$f(-x)=-f(x)$

Achsensymmetrisch zur y-Achse:
$f(-x)=f(x)$

Punktsymmetrisch zum Ursprung:
$f(-x)=-f(x)$

Wertetabelle für

f(x)=x

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Wertetabelle für

f(x)=x^2

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Wertetabelle für

f(x)=x^3

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-27$	$-8$	$-1$	$0$	$1$	$8$	$27$

Graphen von Potenzfunktionen zuordnen

Die allgemeine Gleichung einer Potenzfunktion ist gegeben durch:

$f(x)=a\cdot(x-b)^n+d$

Dabei geben die Parameter folgendes an ( $x$ ist der Funktionswert und $n$ der Exponent):

$a$	Stauchung (für $\|a\|<1$ ) oder Streckung (für $\|a\|>1$ ), gegebenenfalls Spiegelung an $x$ -Achse (für $a<0$ )
$b$	Verschiebung entlang der positiven $x$ -Achse für $b>0$ („nach rechts“) und entlang der negativen für $b<0$ („nach links“)
$d$	Verschiebung entlang der positiven $y$ -Achse für $d>0$ („nach oben“) und entlang der negativen für $d<0$ („nach unten“)

Um zu entscheiden, welche Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen gehört, gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Bestimme, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Dies erkennst Du an der Symmetrie des Graphen (punktsymmetrisch zum Ursprung $\to$ ungerader Exponent; achsensymmetrisch zur $y$ -Achse $\to$ gerader Exponent)

Bestimme den Exponenten: je steiler die Potenzfunktion verläuft, desto größer ist der Exponent. Beachte, dass bei höheren Exponenten die Potenzfunktion im unteren Bereich zunächst breiter verläuft als beim Graphen von $f(x)=x^2$ bzw. von $f(x)=x^3$ .

Bestimme die Verschiebung des Graphen:

für gerade Exponenten: Scheitelpunkt bestimmen; aus den Koordinaten kannst Du $b$ und $d$ ablesen: $S(b|d)$ .
für ungerade Exponenten: Sattelpunkt (die Stelle, an der im Graph ein Bereich ohne Anstieg ist) bestimmen; aus den Koordinaten kannst Du $b$ und $d$ ablesen: $T(b|d)$

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Potenzieren und Faktorisieren: Potenzgesetze

Teil 2

Potenzgesetze anwenden mit Beispielen

Abkürzung

Optional

Teil 3