Hinweis: Verschiebt man die Basisfunktion in y-Richtung (Beispiel: $f\left(x\right)=x^2+4$ ) so ändert sich für der Wertebereich entsprechen der Verschiebung ( $\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq4$ )

Darstellung

Exponent 1

x

Exponent gerade

x^2, x^4, x^6, ...

Exponent ungerade

x^3, x^5, x^7, ...

Mathematik; Potenzfunktionen; 9. Klasse Gymnasium; Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Punktsymmetrisch zum Ursprung:
$f(-x)=-f(x)$

Achsensymmetrisch zur y-Achse:
$f(-x)=f(x)$

Punktsymmetrisch zum Ursprung:
$f(-x)=-f(x)$

Wertetabelle für

f(x)=x

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Wertetabelle für

f(x)=x^2

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Wertetabelle für

f(x)=x^3

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-27$	$-8$	$-1$	$0$	$1$	$8$	$27$

Graphen von Potenzfunktionen zuordnen

Die allgemeine Gleichung einer Potenzfunktion ist gegeben durch:

$f(x)=a\cdot(x-b)^n+d$

Dabei geben die Parameter folgendes an ( $x$ ist der Funktionswert und $n$ der Exponent):

$a$	Stauchung (für $\|a\|<1$ ) oder Streckung (für $\|a\|>1$ ), gegebenenfalls Spiegelung an $x$ -Achse (für $a<0$ )
$b$	Verschiebung entlang der positiven $x$ -Achse für $b>0$ („nach rechts“) und entlang der negativen für $b<0$ („nach links“)
$d$	Verschiebung entlang der positiven $y$ -Achse für $d>0$ („nach oben“) und entlang der negativen für $d<0$ („nach unten“)

Um zu entscheiden, welche Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen gehört, gehe wie folgt vor:

Vorgehen

Bestimme, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Dies erkennst Du an der Symmetrie des Graphen (punktsymmetrisch zum Ursprung $\to$ ungerader Exponent; achsensymmetrisch zur $y$ -Achse $\to$ gerader Exponent)

Bestimme den Exponenten: je steiler die Potenzfunktion verläuft, desto größer ist der Exponent. Beachte, dass bei höheren Exponenten die Potenzfunktion im unteren Bereich zunächst breiter verläuft als beim Graphen von $f(x)=x^2$ bzw. von $f(x)=x^3$ .

Bestimme die Verschiebung des Graphen:

für gerade Exponenten: Scheitelpunkt bestimmen; aus den Koordinaten kannst Du $b$ und $d$ ablesen: $S(b|d)$ .
für ungerade Exponenten: Sattelpunkt (die Stelle, an der im Graph ein Bereich ohne Anstieg ist) bestimmen; aus den Koordinaten kannst Du $b$ und $d$ ablesen: $T(b|d)$

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Eine quadratische Funktion beschriebt eine Aufgabe, in der die Funktion als Parabel einen Berg abbildet. Welcher Punkt ist der höchste?

Um diesen Punkt auszurechnen kannst du den Scheitelpunkt der Parabel berechnen, der zugleich den höchsten Punkt des Bergs abzeichnet.

Wie gehe ich bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen vor?

Erstelle eine Skizze der quadratischen Funktion im Koordinatensystem. Bestimme die Bedeutung der x-Achse und der y-Achse. Auf Basis der quadratischen Funktion musst Du dann Punkte der Funktion bestimmen und in den Zusammenhang übersetzen.

Was ist eine Satzaufgabe?

Bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen beschreibt die quadratische Funktion einen konkreten Zusammenhang aus der Angabe.

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Definition

Grad

Beispiel

Basisfunktionen

Definitionsbereich D\mathbb{D}D​​

Wertebereich W\mathbb{W}W

GRAD UNGERADE

(ALLE FUNKTIONEN)

GRAD GERADE

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Wertebereich $\mathbb{W}$