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Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

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Lehrperson: Elli

Zusammenfassung

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Definition

Eine Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten (ganzzahlige positive) beinhaltet Terme einer Variablen in verschiedenen Potenzen und hat die Form:

f(x)=+a4x4+a3x3+a2x2+a1x + a0f\left(x\right)=\ldots+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x\ +\ a_0​​


Es gilt:

  • anRa_n\in\mathbb{R} : reelle Koeffizienten
  • Exponenten sind natürliche Zahlen: 0,1,2,3,.0,1,2,3,\ldots.​​
  • 0,1,2,3,.0,1,2,3,\ldots.


Grad

Der Grad einer Funktion ist der höchste vorkommende Exponent der Variable.


Hinweis: Die Graphen von Basisfunktion mit natürlichen Exponenten heißen Parabeln.


Beispiel

f(x)=12x4+2x3+x2+1f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^4+2x^3+x^2+1 hat Grad 4.



Basisfunktionen

Terme der Form x,x2,x3,x4,x5,x,x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots heißen Basisfunktionen. Sie enthalten einen Term ohne Koeffizienten.


f(x)=xf\left(x\right)=x​​
f(x)=x2f\left(x\right)=x^2​​
f(x)=x3f\left(x\right)=x^3​​
f(x)=x4f\left(x\right)=x^4​​
f(x)=x5f\left(x\right)=x^5​​
f(x)= f\left(x\right)=\ \ldots​​


Definitionsbereich D\mathbb{D}​​

In die Potenzfunktion mit natürlichen Exponentenkönnen alle reellen Zahlen eingesetzt werden:

D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}​​


Wertebereich W\mathbb{W}

GRAD UNGERADE

(ALLE FUNKTIONEN)

Die yy-Werte können beliebige reelle Zahlen annehmen:

W=R\mathbb{W}=\mathbb{R}​​

GRAD GERADE

(BASISFUNKTIONEN)

Die yy-Werte sind immer positiv:

W=R0+\mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+​​


Hinweis: Verschiebt man die Basisfunktion in y-Richtung (Beispiel: f(x)=x2+4f\left(x\right)=x^2+4 ) so ändert sich für der Wertebereich entsprechen der Verschiebung (W=R4\mathbb{W}=\mathbb{R}\geq4)


Darstellung

Exponent 1
xx​​
Exponent gerade
x2,x4,x6,...x^2, x^4, x^6, ...​​
Exponent ungerade
x3,x5,x7,...x^3, x^5, x^7, ...​​
Mathematik; Potenzfunktionen; 9. Klasse Gymnasium; Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung:
  • f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)​​
  • Achsensymmetrisch zur y-Achse:
  • f(x)=f(x)f(-x)=f(x)​​
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung:
  • f(x)=f(x)f(-x)=-f(x)​​
Wertetabelle für f(x)=xf(x)=x​:
xx​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
Wertetabelle für f(x)=x2f(x)=x^2​:
xx​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
99​​
44​​
11​​
00​​
11​​
44​​
99​​
Wertetabelle für f(x)=x3f(x)=x^3:
xx​​
3-3​​
2-2​​
1-1​​
00​​
11​​
22​​
33​​
yy​​
27-27​​
8-8​​
1-1​​
00​​
11​​
88​​
2727​​


​​


Graphen von Potenzfunktionen zuordnen

Die allgemeine Gleichung einer Potenzfunktion ist gegeben durch:

f(x)=a(xb)n+df(x)=a\cdot(x-b)^n+d​​

Dabei geben die Parameter folgendes an (xx​ ist der Funktionswert und nn der Exponent):

aa​​

Stauchung (für a<1|a|<1 oder Streckung (für a>1|a|>1 ), gegebenenfalls Spiegelung an xx-Achse (für a<0a<0)

bb​​

Verschiebung entlang der positiven xx-Achse für b>0b>0 („nach rechts“) und entlang der negativen für b<0b<0​  („nach links“)

dd​​

Verschiebung entlang der positiven yy-Achse für d>0d>0 („nach oben“) und entlang der negativen für d<0d<0 („nach unten“)


Um zu entscheiden, welche Funktionsgleichung zu einem gegebenen Graphen gehört, gehe wie folgt vor:


Vorgehen

1.

Bestimme, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Dies erkennst Du an der Symmetrie des Graphen (punktsymmetrisch zum Ursprung \to​ ungerader Exponent; achsensymmetrisch zur yy-Achse \to gerader Exponent)

2.

Bestimme den Exponenten: je steiler die Potenzfunktion verläuft, desto größer ist der Exponent. Beachte, dass bei höheren Exponenten die Potenzfunktion im unteren Bereich zunächst breiter verläuft als beim Graphen von f(x)=x2f(x)=x^2​  bzw. von f(x)=x3f(x)=x^3 .

3.

Bestimme die Verschiebung des Graphen:

  • für gerade Exponenten: Scheitelpunkt bestimmen; aus den Koordinaten kannst Du bb​ und dd​ ablesen: S(bd)S(b|d).​
  • für ungerade Exponenten: Sattelpunkt (die Stelle, an der im Graph ein Bereich ohne Anstieg ist) bestimmen; aus den Koordinaten kannst Du bb​ und dd​ ablesen: T(bd)T(b|d)​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Eine quadratische Funktion beschriebt eine Aufgabe, in der die Funktion als Parabel einen Berg abbildet. Welcher Punkt ist der höchste?

Wie gehe ich bei Satzaufgaben mit quadratischen Funktionen vor?

Was ist eine Satzaufgabe?

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