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Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

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Zusammenfassung

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Grundoperationen 

Addition

a+b\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}​​


Grafisch setzt man das Ende des einen Vektors an den Anfang des anderen Vektors.


Allgemein

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln


​Zwischen Punkten

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

a+b=PQ+QR=PR\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}​​


Subtraktion

ab=a+(b)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{-b}) ​​


Man addiert den Gegenvektor von b\overrightarrow{b}​.

Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln


Vervielfachen

Multiplikation mit einer Zahl (Vektorvielfachen):

rar\cdot \overrightarrow{a}​​


Der Vektor a\overrightarrow{a}​ wird um das r|r|​-fache verlängert oder gekürzt. 

Der Parameter r eine reelle Zahl. 


Richtung: 

  • Ist rr​ positiv ändert sich die Richtung von a\overrightarrow{a}​ nicht 
  • Ist rr​ negativ wird die Richtung von a\overrightarrow{a}​ umgedreht 

Länge: 

  • Ist r<1|r|<1​: wird a\overrightarrow{a}​ gekürzt 
  • Ist r>1|r|>1​: wird a\overrightarrow{a}​ verlängert 
  • Ist r=1|r|=1​: ändert sich die Länge von a\overrightarrow{a}​ nicht


Mathematik; Vektorgeometrie; IMS; Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln


Rechengesetze

​Kommutativgesetz der Addition

a+b=b+a\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}​​

Reihenfolge der Vektoren ist unwichtig.

​Assoziativgesetz der Addition

(a+b)+c=a+(b+c)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})​​

​Reihenfolge der Addition ist unwichtig.

​Neutralelement der Addition

a+o=a\overrightarrow{a}+\overrightarrow{o}=\overrightarrow{a}​​

​Nullvektor addieren ändert nichts.

​Inverses Element der Addition

a+(a)=o\overrightarrow{a}+\overrightarrow{\left(-a\right)}=\overrightarrow{o}​​

​Vektor und Gegenvektor addiert ergeben den Nullvektor.

​Assoziativgesetz des Vektorvielfachen

(rs)a=r(sa)(rs)\overrightarrow{a}=r(s\overrightarrow{a})​​

​Vorfaktoren darf man zusammennehmen.

​Distributivgesetz

r(a+b)=ra+rb(r+s)a=ra+sa\begin{aligned}r (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) &=r\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{b} \\(r+s)\overrightarrow{a} &=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{a}\end{aligned}​​

​Klammern darf man entsprechend auflösen.

​Betrag

ra=ra\left|r\overrightarrow{a}\right|=\left|r\right|\left|\overrightarrow{a}\right|​​

​Einen Betrag darf man trennen.

Gleichheitsgesetz

​Gilt: a=b\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}​ dann gilt auch:

a+c=b+c\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}​​

oder

ra=rb (r0)r\overrightarrow{a}=r\overrightarrow{b}\ \left(r\neq0\right)​​

​Sind Vektoren identisch, dann sind auch die Rechnungen mit diesen gleich.

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Übungen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was passiert, wenn man den Nullvektor zu einem anderen Vektor addiert?

Was bedeutet es, wenn man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert?

Was versteht man unter der Addition von Vektoren?

Beta

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