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Grenzwerte einer Funktion berechnen

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Grenzwerte einer Funktion berechnen

Definition

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich die Folge annähert, wenn die Nummer des Folgeglieds  gegen unendlich große Zahlen geht. 


MÖGLICHKEITEN

Die Folge nähert sich einer einzigen reellen Zahl an:

  • Man sagt ein Grenzwert existiert.
  • Solche Folgen sind konvergent.

Die Folge geht gegen eine Unendlichkeit:

  • Der Grenzwert existiert nicht.
  • Solche Folgen sind divergent.

Die Folge nähert sich mehreren Zahlen an:

  • Kein Grenzwert existiert.
  • Die Folge an=(1)na_n=\left(-1\right)^n ist weder konvergent noch divergent.

Wenn eine Folge

  • monoton steigend und nach oben beschränkt ist,
  • monoton fallend und nach unten beschränkt ist,

dann konvergiert die Folge

Mathematik; Folgen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Grenzwerte einer Funktion berechnen


Der Limes

Der Limes ist eine mathematische Methode um Laufvariablen (hier nn) stetig gegen einen bestimmten Wert laufen zu lassen, um zu überprüfen, wie sich ein Term TT dadurch ändert.


Um nn stetig gegen \infty laufen zu lassen schreiben wir: 

limnT\lim\limits_{n\rightarrow\infty}T​​

Um nn stetig gegen -\infty  laufen zu lassen schreiben wir:

limnT\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}T​​


Grenzwert berechnen

Für explizit dargestellte Folgen:


VORGEHEN

1.

Setze die explizite Formel der Folge in den Limes: g=limnang=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}

2.

Berechne den Wert von ana_n für nn\rightarrow\infty: Setze  für nn ein und rechne mit .


Tipp 1: Erhält man \frac{\infty}{\infty}​, 00 \frac{\mathbf{0}}{\mathbf{0}}\ ​ oder 0\infty\bullet\mathbf{0}​, so muss man den Term umwandeln.


Tipp 2: Bei Brüchen hilft es oft,nn​ auszuklammern.


Beispiel

Grenzwert von an=8n2+412n2a_n=\frac{8n^2+4}{12n^2}


Limes berechnen:

g=limn8n2+412n2=82+4122g=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{8n^2+4}{12n^2}}=\frac{8\infty^2+4}{12\infty^2}\approx\frac{\infty}{\infty}​​


Also müssen wir den Term umwandeln:

Mathematik; Folgen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Grenzwerte einer Funktion berechnen



Grenzwertsätze

Folgende Regeln gelten für die Grenzwerte von Folgen:

Mathematik; Folgen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Grenzwerte einer Funktion berechnen



Mathematik; Folgen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Grenzwerte einer Funktion berechnen


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Hat eine konstante Folge einen Grenzwert?

Was ist der Grenzwert einer Folge?

Wie berechnet man den Grenzwert einer Folge?

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