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Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

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Erklärvideo

Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Tangentengleichung

Definition

Eine Tangente ttt​ berührt eine Funktion fff​ in einem Punkt.


EIGENSCHAFTEN

  • Tangente und Funktion verlaufen durch den gleichen Berührpunkt B.
  • Tangente und Funktion haben im Berührpunkt die gleiche Steigung.
Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

​

Tangentengleichung bestimmen

Tangentengleichung an der Stelle xBx_BxB​​ mit dem Graphen der Funktion f(x)f(x)f(x)​ bestimmen.


VORGEHEN

1.

Falls nicht gegeben, den y-Wert des Berührpunkts berechnen:

Setze xBx_BxB​​ in die Funktion ein. Das Ergebnis ist yBy_ByB​​.

2.

Steigung mmm​ bestimmen: 

  • Die erste Ableitung der Funktion bilden.
  • xBx_BxB​​ in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung mmm​.

3.

Allgemeine Geradengleichung für eine Tangente notieren und m einsetzen.

t(x)=mx+qt\left(x\right)=mx+qt(x)=mx+q​​

Hinweis: Gesucht ist q (y-Achsenschnittpunkt).

4.

yyy​-Achsenabschnitt qqq​ bestimmen: 

Die Werte xBx_BxB​​ und yBy_ByB​​ in die Tangentengleichung einsetzen: yB=mxB+qy_B=mx_B+qyB​=mxB​+q​

Die Gleichung nach q auflösen.

5.

Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.


Beispiel

Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt B(1|yB)B\left(1\middle| y_B\right)B(1∣yB​)​ des Graphen f(x)=0,5x3−1f\left(x\right)=0,5x^3-1f(x)=0,5x3−1​.


Erste Ableitung:

f′(x)=1,5x2f^\prime\left(x\right)=1,5x^2f′(x)=1,5x2​​

Steigung der Tangente:

m=f′(1)=1,5⋅12=1,5m=f^\prime\left(1\right)=1,5\cdot1^2=1,5m=f′(1)=1,5⋅12=1,5​​

y-Wert des Berührpunkts:

f(1)=0,5⋅13−1=−0,5f\left(1\right)=0,5\cdot1^3-1=-0,5f(1)=0,5⋅13−1=−0,5​​

Einsetzen in die Tangentengleichung:

−0,5=1,5⋅1+q-0,5=1,5\cdot1+q−0,5=1,5⋅1+q​​

Auflösen nach qqq​:

−2=q-2=q−2=q​


Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Tangentengleichung aufstellen:

t(x)=1,5x−2‾\underline{t\left(x\right)=1,5x-2}t(x)=1,5x−2​​​



Normalengleichung

Definition

Eine Normale nnn​ schneidet eine Funktion in einem Punkt senkrecht.


EIGENSCHAFTEN

  • Die Normale und die Funktion verlaufen durch den gleichen Punkt P.
  • Die Normale steht senkrecht zur Tangente der Funktion durch den Punkt P.
Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen


Normalengleichung bestimmen

Normalengleichung an der Stelle xPx_PxP​​ mit dem Graphen der Funktion f(x)f(x)f(x)​ bestimmen.


VORGEHEN

1.

Falls nicht gegeben, den y-Wert des Punkts berechnen:

Setze xPx_PxP​​ in die Funktion ein. Das Ergebnis ist yPy_PyP​​.

2.

Steigung mmm​ bestimmen: 

  • Die erste Ableitung der Funktion bilden.
  • xPx_PxP​​ in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung der Tangente mtm_tmt​​.
  • Senkrechte Steigung zur Tangentensteigung bilden: m=−1mtm=-\frac{1}{m_t}m=−mt​1​​

Dies ist die Steigung der Normalen.

3.

Allgemeine Geradengleichung für eine Normale notieren und m einsetzen.

n(x)=mx+qn\left(x\right)=mx+qn(x)=mx+q​​

Hinweis: Gesucht q (y-Achsenschnittpunkt).

4.

y-Achsenabschnitt qqq​ bestimmen: 

Die Werte xPx_PxP​​ und yPy_PyP​​ in die Normalengleichung einsetzen: yP=mxP+qy_P=mx_P+qyP​=mxP​+q​

Die Gleichung nach q auflösen.

5.

Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.



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Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Teil 1

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Teil 2

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Ableitung trigonometrischer Funktionen

Teil 3

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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Teil 4

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

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Teil 5

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie bestimmt man eine Normalengleichung?

1: Falls nicht gegeben den y-Wert des Punkts berechnen: Setze x_P in die Funktion ein. Das Ergebnis ist y_P. 2: Steigung m bestimmen: Die erste Ableitung der Funktion bilden und x_P in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung der Tangente m_t. Senkrechte Steigung zur Tangentensteigung bilden: m=-1/m_t Dies ist die Steigung der Normalen. 3: Allgemeine Geradengleichung für eine Normale notieren und m einsetzen. n_x=m_x+q Hinweis: Gesucht q (y-Achsenschnittpunkt). 4: y-Achsenabschnitt q bestimmen: Die Werte x_P und y_P in die Normalengleichung einsetzen: y_P=mx_P+q .Die Gleichung nach q auflösen. 5: Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.

Was ist eine Normalengleichung?

Eine Normale n schneidet eine Funktion in einem Punkt senkrecht.

Wie bestimmt man eine Tangentengleichung?

1: Falls nicht gegeben den y-Wert des Berührpunkts berechnen: Setze x_B in die Funktion ein. Das Ergebnis ist y_B. 2: Steigung m bestimmen: Die erste Ableitung der Funktion bilden. x_B in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung m. 3: Allgemeine Geradengleichung für eine Tangente notieren und m einsetzen. t_x=mx+q Hinweis: Gesucht ist q (y-Achsenschnittpunkt). 4: y-Achsenabschnitt q bestimmen: Die Werte x_B und y_B in die Tangentengleichung einsetzen: y_B=mx_B+q Die Gleichung nach q auflösen. 5: Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.

Was ist eine Tangentengleichung?

Eine Tangente t berührt eine Funktion in einem Punkt.

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