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Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Tangentengleichung

Definition

Eine Tangente tt berührt eine Funktion ff in einem Punkt.


EIGENSCHAFTEN

  • Tangente und Funktion verlaufen durch den gleichen Berührpunkt B.
  • Tangente und Funktion haben im Berührpunkt die gleiche Steigung.
Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen


Tangentengleichung bestimmen

Tangentengleichung an der Stelle xBx_B mit dem Graphen der Funktion f(x)f(x)​ bestimmen.


VORGEHEN

1.

Falls nicht gegeben, den y-Wert des Berührpunkts berechnen:

Setze xBx_B in die Funktion ein. Das Ergebnis ist yBy_B.

2.

Steigung mm bestimmen: 

  • Die erste Ableitung der Funktion bilden.
  • xBx_B​ in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung mm.

3.

Allgemeine Geradengleichung für eine Tangente notieren und m einsetzen.

t(x)=mx+qt\left(x\right)=mx+q​​

Hinweis: Gesucht ist q (y-Achsenschnittpunkt).

4.

yy​-Achsenabschnitt qq bestimmen: 

Die Werte xBx_B und yBy_B in die Tangentengleichung einsetzen: yB=mxB+qy_B=mx_B+q

Die Gleichung nach q auflösen.

5.

Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.


Beispiel

Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt B(1|yB)B\left(1\middle| y_B\right) des Graphen f(x)=0,5x31f\left(x\right)=0,5x^3-1.


Erste Ableitung:

f(x)=1,5x2f^\prime\left(x\right)=1,5x^2​​

Steigung der Tangente:

m=f(1)=1,512=1,5m=f^\prime\left(1\right)=1,5\cdot1^2=1,5​​

y-Wert des Berührpunkts:

f(1)=0,5131=0,5f\left(1\right)=0,5\cdot1^3-1=-0,5​​

Einsetzen in die Tangentengleichung:

0,5=1,51+q-0,5=1,5\cdot1+q​​

Auflösen nach qq:

2=q-2=q


Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Tangentengleichung aufstellen:

t(x)=1,5x2\underline{t\left(x\right)=1,5x-2}​​



Normalengleichung

Definition

Eine Normale nn schneidet eine Funktion in einem Punkt senkrecht.


EIGENSCHAFTEN

  • Die Normale und die Funktion verlaufen durch den gleichen Punkt P.
  • Die Normale steht senkrecht zur Tangente der Funktion durch den Punkt P.
Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen


Normalengleichung bestimmen

Normalengleichung an der Stelle xPx_P mit dem Graphen der Funktion f(x)f(x) bestimmen.


VORGEHEN

1.

Falls nicht gegeben, den y-Wert des Punkts berechnen:

Setze xPx_P in die Funktion ein. Das Ergebnis ist yPy_P.

2.

Steigung mm bestimmen: 

  • Die erste Ableitung der Funktion bilden.
  • xPx_P​ in die Ableitung einsetzen. Das Ergebnis ist die Steigung der Tangente mtm_t.
  • Senkrechte Steigung zur Tangentensteigung bilden: m=1mtm=-\frac{1}{m_t}

Dies ist die Steigung der Normalen.

3.

Allgemeine Geradengleichung für eine Normale notieren und m einsetzen.

n(x)=mx+qn\left(x\right)=mx+q​​

Hinweis: Gesucht q (y-Achsenschnittpunkt).

4.

y-Achsenabschnitt qq bestimmen: 

Die Werte xPx_P und yPy_P in die Normalengleichung einsetzen: yP=mxP+qy_P=mx_P+q

Die Gleichung nach q auflösen.

5.

Die erhaltenen Werte in die Geradengleichung einsetzen.



Mathematik; Ableitung und Differenzialrechnung; 10. Klasse Gymnasium; Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

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Wie bestimmt man eine Normalengleichung?

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