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Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

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Analytische Geometrie

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Tangential- und Polarebene: Lage von Kugel und Ebene

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Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Vektoren: Normalenform und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Ebene und Punkt: Abstand und Reflexion

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Vektoren Geraden

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Vektoren

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensysteme und Koordinatenebenen

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Vektorräume & lineare Unabhängigkeit

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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Lineare Abbildungen mit Matrizen

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Lineare Gleichungssysteme & Gauß Verfahren

Markov-Ketten

Prozessdiagramme und Zustandsverteilungen

Rechnen mit Übergangsmatrizen: Definition & Anwendung

Wartezeiten in Markow-Ketten: Definition & Anwendung

Signifikanztest

Stichprobenuntersuchung: Vertrauensintervalle & Signifikanz

Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Einseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Fehler 1. und 2. Art: Definition & Beispiel

Bayes’sche Statistik: Definition & Beispiel

Zufallsgröße

Erwartungswert, Mittelwert & Standardabweichung

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zuvallsvariablen

Bernoulliexperiment und -kette

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Satz von Bayes: Definition & Formel

Kombinatorik

Fakultät: Definition und Formel

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Permutationsformeln: Anwendung & Beispiele

Variationensformeln: Anwendung & Beispiele

Kombinationsformeln: Anwendung & Beispiele

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Grenzwerte einer Funktion berechnen

Integral berechnen

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Numerische Integration: Methoden

Extrem- und Wendepunkte

Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

​​Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Erklärvideo

Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.



Auswahl der Kombinatorik-Formeln

Je nach Art der Auswahl, nach Ordnung der Stichprobe und nach Art der Wiederholung, wird eine andere Formel verwendet:

Für Permutation

Für Variation und Kombination

​n: Anzahl aller Elementeni:Anzahl der Elemente vom Typ in:\ Anzahl\ aller\ Elemente\\n_i:Anzahl\ der\ Elemente\ vom\ Typ\ in: Anzahl aller Elementeni​:Anzahl der Elemente vom Typ i​​

​n: Anzahl unterschiedlicher Elementek: Anzahl entnommener/gewa¨hlter Elementen:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elementen: Anzahl unterschiedlicher Elementek: Anzahl entnommener/gewa¨hlter Elemente​​


Mathematik; Kombinatorik; 11.-12. Klasse Gymnasium; Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination
Hinweis:
  • Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
  • Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.


Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Nein

Ja

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​n!n!n!​​

​n=Anzahl Farben=5n=Anzahl\ Farben=5n=Anzahl Farben=5​​

​5!=120‾5!=\underline{120}5!=120​​​


Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Nein

Ja

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​n!n1!⋅…⋅ni!\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}n1​!⋅…⋅ni​!n!​​​

​n=Anzahl Stu¨hle=9n1=Anzahl rote Stu¨hle=6n2=Anzahl blaue Stu¨hle=3n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3n=Anzahl Stu¨hle=9n1​=Anzahl rote Stu¨hle=6n2​=Anzahl blaue Stu¨hle=3​

​9!6!⋅3!=84‾\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}6!⋅3!9!​=84​​​


Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Nein

Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​n!(n−k)!\frac{n!}{\left(n-k\right)!}(n−k)!n!​​​

​n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5​​

​10!(10−5)!=30 240‾\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}(10−5)!10!​=30 240​​​


Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie vielen verschiedene Reihenfolgen von Farben können so gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​nkn^knk​​

​n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=3n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=3​​

​23=8‾2^3=\underline{8}23=8​​​


Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​(nk)\binom{n}{k}(kn​)​​

​n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5​​

​(105)=10!5!⋅(10−5)!=252‾\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}(510​)=5!⋅(10−5)!10!​=252​​​


Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 5 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​(n+k−1k)\binom{n+k-1}{k}(kn+k−1​)​​

​n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=5​​

​(2+5−15)=6!5!⋅(6−5)!=6‾\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}(52+5−1​)=5!⋅(6−5)!6!​=6​​​



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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Variationensformeln: Anwendung & Beispiele

Teil 1

Variationensformeln: Anwendung & Beispiele

Kombinationsformeln: Anwendung & Beispiele

Teil 2

Kombinationsformeln: Anwendung & Beispiele

Abkürzung

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Dies ist die Lektion, in der du dich gerade befindest, und das Ziel des Pfades.

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

Teil 3

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür braucht man Kombination mit Wiederholung?

Um eine Auswahl aus einer ungeordneten Stichprobe zu wählen und dabei werden die Elemente nach jedem ziehen zurückgelegt.

Wofür brauche ich Variation ohne Wiederholung?

Wenn du eine Auswahl aus einer geordneten Stichprobe triffst und keine Elemente zurücklegst.

Wofür brauche ich die Permutation mit Wiederholung?

Du brauchst sie um Elemente in einer Menge anzuordnen wobei Wiederholungen berücksichtigt werden.

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