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Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.



Auswahl der Kombinatorik-Formeln

Je nach Art der Auswahl, nach Ordnung der Stichprobe und nach Art der Wiederholung, wird eine andere Formel verwendet:

Für Permutation

Für Variation und Kombination

n: Anzahl aller Elementeni:Anzahl der Elemente vom Typ in:\ Anzahl\ aller\ Elemente\\n_i:Anzahl\ der\ Elemente\ vom\ Typ\ i​​

n: Anzahl unterschiedlicher Elementek: Anzahl entnommener/gewa¨hlter Elementen:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente​​


Mathematik; Kombinatorik; 11.-12. Klasse Gymnasium; Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination
Hinweis:
  • Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
  • Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.


Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Nein

Ja

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

n!n!​​

n=Anzahl Farben=5n=Anzahl\ Farben=5​​

5!=1205!=\underline{120}​​


Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Nein

Ja

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

n!n1!ni!\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}​​

n=Anzahl Stu¨hle=9n1=Anzahl rote Stu¨hle=6n2=Anzahl blaue Stu¨hle=3n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3

9!6!3!=84\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}​​


Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Nein

Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

n!(nk)!\frac{n!}{\left(n-k\right)!}​​

n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5​​

10!(105)!=30 240\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}​​


Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie vielen verschiedene Reihenfolgen von Farben können so gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

nkn^k​​

n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=3n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3​​

23=82^3=\underline{8}​​


Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

(nk)\binom{n}{k}​​

n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5​​

(105)=10!5!(105)!=252\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}​​


Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 5 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

(n+k1k)\binom{n+k-1}{k}​​

n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5​​

(2+515)=6!5!(65)!=6\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}​​



Mathematik; Kombinatorik; 11.-12. Klasse Gymnasium; Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür braucht man Kombination mit Wiederholung?

Wofür brauche ich Variation ohne Wiederholung?

Wofür brauche ich die Permutation mit Wiederholung?

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