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Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Lehrperson: Emma

Zusammenfassung


StammStammfunktion bilden und Integrationsregeln

Stammfunktionen von Basisfunktionen

Es ist hilfreich sich die Stammfunktionen von einigen Basisfunktionen zu merken. Das wird Dir dabei helfen, diese und auch kompliziertere, zusammengesetzte Funktionen integrieren zu können.

Funktion

f(x)f\left(x\right)​​

F(x)F\left(x\right)​​

Potenzfunktion

xnx^n​​

1n+1xn+1+c\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c​​

Sonderfall n=1n=-1​​

1x=x1\frac{1}{x}=x^{-1}​​

ln(x)+cln{\left(\left|x\right|\right)}+c​​

​Exponentialfunktion

axa^x​​

1ln(a)ax+c\frac{1}{ln\left(a\right)}\cdot a^x+c​​

exe^x​​

ex+ce^x+c​​

​Logarithmusfunktion

loga(x){log}_a\left(x\right)​​

xln(x)xln(a)+c\frac{x\cdot l n\left(x\right)-x}{ln\left(a\right)}+c​​

ln(x)ln\left(x\right)​​

xln(x)x+cx\cdot ln\left(x\right)-x+c​​

​Trigonometrische Funktionen

sin(x)sin\left(x\right)​​

cos(x)+c-cos\left(x\right)+c​​

cos(x)cos\left(x\right)​​

sin(x)+csin\left(x\right)+c​​

tan(x)tan\left(x\right)​​

ln(cos(x))+c-ln{\left(\left|cos\left(x\right)\right|\right)}+c



Integrationsregeln

Die Integrationsregeln können genutzt werden, um die Integrationsrechnung zu vereinfachen.


Faktorregel

au(x)dx=au(x)dx\int{a\cdot u\left(x\right)dx}=a\cdot\int u\left(x\right)dx​​

Vorfaktoren darf man vor das Integral schreiben.

Beispiel

8x2 dx=8x2 dx\int{8\cdot x^2\ dx}=8\cdot\int{x^2\ dx}​​


Summenregel

u(x)+v(x) dx=u(x) dx+v(x) dx\int{u\left(x\right)+v\left(x\right)\ dx}=\int{u\left(x\right)\ dx}+\int{v\left(x\right)\ dx}​​

Summen und Differenzen darf man getrennt oder zusammen integrieren.

Beispiel

x2+3x dx=x2 dx+3x dx\int{x^2+3x\ dx}=\int{x^2\ dx}+\int{3x\ dx}​​


Vertauschungsregel

abu(x) dx=bau(x) dx\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\ dx}=-\int_{b}^{a}{u\left(x\right)\ dx}​​

Man darf die Grenzen tauschen, indem man ein Minus vor das Integral setzt.

Beispiel

01x2 dx=10x2 dx\int_{0}^{1}{x^2\ dx}=-\int_{1}^{0}{x^2\ dx}​​


Intervalladditivität

abu(x) dx+bcu(x) dx=acu(x) dx\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\ dx}+\int_{b}^{c}{u\left(x\right)\ dx}=\int_{a}^{c}{u\left(x\right)\ dx}​​

Man darf Integrale bei gemeinsamen Grenzen zusammenführen und trennen.

Beispiel

01x2 dx+12x2 dx=02x2 dx\int_{0}^{1}{x^2\ dx}+\int_{1}^{2}{x^2\ dx}=\int_{0}^{2}{x^2\ dx}​​


Tipp: Stammfunktion prüfen

Prüfe, ob eine Stammfunktion zu einer Funktion gehört, indem du die Stammfunktion ableitest. Oft ist es leichter die Stammfunktion abzuleiten, als die Funktion zu integrieren.

F(x)=f(x)F^\prime\left(x\right)=f\left(x\right)​​



Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Stammfunktion bilden und Integrationsregeln


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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Welche Integrationsregeln gibt es?

Was ist die Stammfunktion von der Potenzfunktion x^n?

Ist Aufleiten und Integrieren dasselbe?

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