Determinante von Matrizen berechnen

Definition

Jeder quadratischen Matrix kann eine Determinante zugeordnet werden. Die Determinante ist eine Zahl, die aus allen Einträgen der Matrix berechnet wird.

Schreibweisen für die Determinante ist $det(A)\$ oder $\left|A\right|$ .

Formeln

Je nach Dimension einer Matrix wird zur Berechnung der Determinante eine andere Formel verwendet:

DIMENSION	BASIS-MATRIX	DETERMINANTE
$\mathbf{2}\times\mathbf{2}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)$	$det(A)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$
$\mathbf{3}\times\mathbf{3}$	$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right)$	$det{\left(A\right)}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{12}\cdot a_{21}$

Tipp: Berechnung bei 3x3 Matrizen:

Erweitere die Matrix mit den ersten zwei Spalten.

Multipliziere entlang der markierten Diagonale und verrechne die Produkte wie dargestellt:

Mathematik; Matrizen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Determinante von Matrizen berechnen

Beispiel 1: $2\times2$ Matrix:

$det\left(\begin{matrix}2&1\\-3&-4\\\end{matrix}\right)=2\cdot(-4)-1\cdot(-3)=\underline{-5}$ 

Beispiel 2: $3\times3$ Matrix:

$det\left(\begin{matrix}1&3&5\\-2&1&-2\\2&0&-3\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot(-3)+3\cdot(-2)\cdot2+5\cdot(-2)\cdot0-2\cdot1\cdot5-0\cdot(-2)\cdot1-(-3)\cdot(-2)\cdot3=-3-12+0-10+0-18=\underline{-43}$

Eigenschaften

$det{\left(A\cdot B\right)}=det{\left(A\right)}\cdot d e t{\left(B\right)}$	Die Determinante des Produkts von zwei Matrizen entspricht dem Produkt der Determinanten beider Matrizen.
$det{\left(A^T\right)}=det{\left(A\right)}$	Die Determinante der transponierten Matrix entspricht der Determinante der Matrix selbst.

Anwendungen

Flächenberechnung im $\mathbb{R}^2$

Zwei Vektoren, die nicht parallel sind, spannen ein Parallelenviereck (Parallelogramm) auf.

Mathematik; Matrizen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Determinante von Matrizen berechnen

Werden die Vektoren als Matrix zusammengefügt und davon die Determinante ausgebildet, so erhält man den Flächeninhalt des Parallelenvierecks.

(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=A

F_{PV}=\left|\det(A)\right|

Beispiel:

Die Vektoren $\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$ und $\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$ spannen ein Parallelenviereck auf. Die Längen sind in cm gegeben.

Matrix:

$A=\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\\\end{matrix}\right)$ 

Determinante:

$det\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\\\end{matrix}\right)=1\cdot3-(-2)\cdot2=\underline{7}$ 

Die Fläche beträgt also $7\ {cm}^2$ .

Volumenberechnung im $\mathbb{R}^3$

Drei Vektoren ( $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ und $\overrightarrow c$ ) im dreidimensionalen Raum, die nicht parallel sind, spannen ein Spat auf.

Mathematik; Matrizen; 11.-12. Klasse Gymnasium; Determinante von Matrizen berechnen

Fügt man die Vektoren als Matrix zusammen und bildet von dieser die Determinante, so erhält man das Volumen des Spats.

(\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c )=A

V_{Spat}=\left|\det(A)\right|

Beispiel:

Die Vektoren $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ spannen einen Spat auf. Die Längen sind in cm gegeben.

Das Volumen des Spats kann nun folgendermaßen berechnet werden:

$det\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)=1\cdot1\cdot1+0\cdot0\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-1\cdot0\cdot0-0\cdot0\cdot1=\underline{1}$ 

Das Volumen beträgt $1cm^2$ .

Lineare Gleichungssysteme

Mithilfe der Determinante kann man prüfen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

VORGEHEN

1.

Forme das Gleichungssystem um und bestimme die Matrix :

2.

Berechne der Determinante der Matrix.

$\det(A)\neq0$  eindeutig lösbar
$\det(A)=0$  entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen

Beispiel:

$3x+2y=7\ \\4x+9y=22\$

Darstellung mit Matrix:

$\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\22\end{matrix}\right)$ 

Determinante der Matrix A:

$det\left(\begin{matrix}3&2\\4&9\\\end{matrix}\right)=27-8=19>0$ 

Das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar.