Herleitung der Integralrechnung

Definition

Mit der Integralrechnung kann man Flächen zwischen einem Graphen und der $$x$$​ -Achse berechnen.

Herleitung

Fragestellung Wie können wir die graue Fläche unter dem Graphen berechnen? Grundgedanke Der Fläche unter dem Graphen kann man sich durch mehrere Rechtecke gleicher Breite annähern. Je mehr Rechtecke man setzt und je schmaler die Rechtecke werden, desto exakter nähert man sich der Fläche an.

Rechnerisch

Größen:

• $$n$$​: Anzahl der Rechtecke
  
• $$\Delta x$$​: Breite eines Rechtecks
  
• $$x_k$$​: Punkt auf der Grundseite eines Rechtecks
  

Flächen:

• Fläche pro Rechteck: $$f(x_k)\cdot \Delta x$$​
  

Gesamte Fläche: $$F_n= \sum_{k=1}^n f(x_k) \cdot \Delta x$$​

Hinweis:  $$\Sigma$$ ist ein großes Sigma und steht für die Summe. 

Integrationsschritt: Die Anzahl der Rechtecke wird sehr groß. Die Breite der Rechtecke wird sehr klein. Aus der Summe entsteht das Integral.

$$F=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} F_n$$

​​

Diesen Grenzwert nennt man das Integral der Funktion $$f$$​

 zwischen den Grenzen a und b. Und man schreibt dafür:

$$F=\int\limits_a^b f(x) \ \text{dx}$$​​

Skizze:

Einteilung in $$n=3$$​ Teilintervalle ​​

Einteilung in $$n=6$$​ Teilintervalle ​​