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Integral berechnen

Herleitung der Integralrechnung

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Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Herleitung der Integralrechnung

Definition

Mit der Integralrechnung kann man Flächen zwischen einem Graphen und der xx -Achse berechnen.



Herleitung

Fragestellung

Wie können wir die graue Fläche unter dem Graphen berechnen?


Grundgedanke

  • Der Fläche unter dem Graphen kann man sich durch mehrere Rechtecke gleicher Breite annähern.
  • Je mehr Rechtecke man setzt und je schmaler die Rechtecke werden, desto exakter nähert man sich der Fläche an.
Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Herleitung der Integralrechnung



Rechnerisch

Größen:

  • nn​: Anzahl der Rechtecke
  • Δx\Delta x​: Breite eines Rechtecks
  • xkx_k​: Punkt auf der Grundseite eines Rechtecks


Flächen:

  • Fläche pro Rechteck: f(xk)Δxf(x_k)\cdot \Delta x

Gesamte Fläche: Fn=k=1nf(xk)ΔxF_n= \sum_{k=1}^n f(x_k) \cdot \Delta x

Hinweis:  Σ\Sigma ist ein großes Sigma und steht für die Summe. 

Integrationsschritt: Die Anzahl der Rechtecke wird sehr groß. Die Breite der Rechtecke wird sehr klein. Aus der Summe entsteht das Integral.

F=limnFnF=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} F_n


​​

Diesen Grenzwert nennt man das Integral der Funktion ff

 zwischen den Grenzen a und b. Und man schreibt dafür:

 

F=abf(x) dxF=\int\limits_a^b f(x) \ \text{dx}​​

Skizze:

Einteilung in n=3n=3

Teilintervalle
Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Herleitung der Integralrechnung

Einteilung in n=6n=6

Teilintervalle
Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Herleitung der Integralrechnung



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Frequently asked questions about credits

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Wie leitet man das Integral her?

Was ist ein Integral, einfach erklärt?

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