Home

Mathematik

Integral berechnen

Herleitung der Integralrechnung

Lektion auswählen

Mein Buch

Select an option

Analytische Geometrie

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Tangential- und Polarebene: Lage von Kugel und Ebene

Ebenen

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Vektoren: Normalenform und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Ebene und Punkt: Abstand und Reflexion

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Vektoren Geraden

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Vektoren

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensysteme und Koordinatenebenen

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Vektorräume

Vektorräume & lineare Unabhängigkeit

Matrizen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Lineare Abbildungen mit Matrizen

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme & Gauß Verfahren

Markov-Ketten

Prozessdiagramme und Zustandsverteilungen

Rechnen mit Übergangsmatrizen: Definition & Anwendung

Wartezeiten in Markow-Ketten: Definition & Anwendung

Signifikanztest

Stichprobenuntersuchung: Vertrauensintervalle & Signifikanz

Zweiseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Einseitigen Signifikanztest durchführen: Vorgehen

Fehler 1. und 2. Art: Definition & Beispiel

Bayes’sche Statistik: Definition & Beispiel

Zufallsgröße

Erwartungswert, Mittelwert & Standardabweichung

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zuvallsvariablen

Bernoulliexperiment und -kette

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Satz von Moivre-Laplace: Definition & Anwendung

Exponentialverteilung einer Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Mengenlehre: Darstellung, Eigenschaften & Venn-Diagramm

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Baumdiagramm zeichnen & Wahrscheinlichkeit bestimmen

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Satz von Bayes: Definition & Formel

Kombinatorik

Fakultät: Definition und Formel

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Permutationsformeln: Anwendung & Beispiele

Variationensformeln: Anwendung & Beispiele

Kombinationsformeln: Anwendung & Beispiele

Gemischte Formeln für Permutation, Variation & Kombination

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Grenzwerte einer Funktion berechnen

Integral berechnen

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Numerische Integration: Methoden

Extrem- und Wendepunkte

Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Logarithmen: Definition & Logarithmusgesetze

Logarithmusgleichungen lösen

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus & Tangens

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Erklärvideo

Lehrperson: Emma

Zusammenfassung

Herleitung der Integralrechnung

Definition

Mit der Integralrechnung kann man Flächen zwischen einem Graphen und der $x$ -Achse berechnen.

Herleitung

Fragestellung

Wie können wir die graue Fläche unter dem Graphen berechnen?

Grundgedanke

Der Fläche unter dem Graphen kann man sich durch mehrere Rechtecke gleicher Breite annähern.
Je mehr Rechtecke man setzt und je schmaler die Rechtecke werden, desto exakter nähert man sich der Fläche an.

Mathematik; Integrieren; 11.-12. Klasse Gymnasium; Herleitung der Integralrechnung

Rechnerisch

Größen:

$n$ : Anzahl der Rechtecke
$\Delta x$ : Breite eines Rechtecks
$x_k$ : Punkt auf der Grundseite eines Rechtecks

Flächen:

Fläche pro Rechteck: $f(x_k)\cdot \Delta x$

Gesamte Fläche: $F_n= \sum_{k=1}^n f(x_k) \cdot \Delta x$

Hinweis: $\Sigma$ ist ein großes Sigma und steht für die Summe.

Integrationsschritt: Die Anzahl der Rechtecke wird sehr groß. Die Breite der Rechtecke wird sehr klein. Aus der Summe entsteht das Integral.

$F=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} F_n$

Diesen Grenzwert nennt man das Integral der Funktion $f$

zwischen den Grenzen a und b. Und man schreibt dafür:

$F=\int\limits_a^b f(x) \ \text{dx}$

Skizze:

Einteilung in $n=3$

Teilintervalle

Einteilung in $n=6$

Teilintervalle

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1