Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Definition

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie kommt zum Zug, wenn ein Zufallsexperiment in Form einer Bernoulli-Kette vorliegt:

• Nur zwei Ergebnisse sind möglich pro Bernoulli-Experiment
• Die einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander, das heißt, die Wahrscheinlichkeit bei den einzelnen Bernoulli-Experimenten ist immer gleich.

Man sagt auch, dass die Binomialverteilung die Summe von unabhängigen Bernoulli-Verteilungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit ist.

Funktionen

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird von der Bernoulli-Kette übernommen.

Schreibweise: Für eine Binomialverteilung schreibt man anstatt $$P(X=k)$$ auch $$B_{n,p}(X=k)$$ oder $$B_{n,p}(k)$$.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion summiert mehrere Ergebnisse (Wahrscheinlichkeiten) der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, in einer Bernoulli-Kette eine Anzahl von Erfolgen (bezeichnet mit $$X$$​) zu erzielen die zwischen $$x$$​ und $$k$$​ liegt.

Kennwerte

Beispiel

Ein Basketballspieler trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von $$60\%$$​ den Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei $$10$$​ Würfen $$8$$​ oder mehr Körbe erzielt?

Tabelle mit den Variablen:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

​$$P(X≥8)=F(8≤X≤10)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)$$​​

Einsetzen:

​$$=\binom{10}{8}\cdot 0,6^8 \cdot 0,4^2 +\binom{10}{9}\cdot 0,6^9 \cdot 0,4^1+ \binom{10}{10} \cdot 0,6^{10} \cdot 0,4^0 \approx 0,167 = \underline{16,7\%}$$​​

Darstellung im Diagramm: