Home

Mathematik

Zufallsgröße

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Lektion auswählen

Mein Buch

Select an option

Erklärvideo

Loading...
Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Definition

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie kommt zum Zug, wenn ein Zufallsexperiment in Form einer Bernoulli-Kette vorliegt:

  • Nur zwei Ergebnisse sind möglich pro Bernoulli-Experiment
  • Die einzelnen Versuche sind unabhängig voneinander, das heißt, die Wahrscheinlichkeit bei den einzelnen Bernoulli-Experimenten ist immer gleich.

Man sagt auch, dass die Binomialverteilung die Summe von unabhängigen Bernoulli-Verteilungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit ist.



Funktionen

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird von der Bernoulli-Kette übernommen.

P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}

pp​​

Wahrscheinlichkeit des Zufallsereignis

nn​​

Anzahl Wiederholungen des Zufallsexperiments

kk​​

Anzahl Treffer


Schreibweise: Für eine Binomialverteilung schreibt man anstatt P(X=k)P(X=k) auch Bn,p(X=k)B_{n,p}(X=k) oder Bn,p(k)B_{n,p}(k).



Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion summiert mehrere Ergebnisse (Wahrscheinlichkeiten) der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, in einer Bernoulli-Kette eine Anzahl von Erfolgen (bezeichnet mit XX​) zu erzielen die zwischen xx​ und kk​ liegt.


F(kXx)=i=kx(ni)pi(1p)niF(k\leq X \leq x)=\sum_{i=k}^x\binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}​​

pp​​

Wahrscheinlichkeit des Zufallsereignis

nn​​

Anzahl Wiederholungen des Zufallsexperiments

xx​​

Obergrenze der Treffer

kk​​

Untergrenze der Treffer

ii​​

Laufvariable



Kennwerte

Erwartungswert

E(X)=npE(X)=n \cdot p​​

Varianz

V(X)=np(1p)V(X)=n\cdot p \cdot (1-p)​​

Standardabweichung

σ(X)=np(1p)\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}​​


Beispiel

Ein Basketballspieler trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 60%60\%den Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 1010Würfen 88​ oder mehr Körbe erzielt?


Tabelle mit den Variablen:

pp​​

0,60,6​​

1p1-p​​

0,40,4​​

nn​​

1010​​

kk​​


Berechnung der Wahrscheinlichkeit:


P(X8)=F(8X10)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)P(X≥8)=F(8≤X≤10)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)​​


Einsetzen:


=(108)0,680,42+(109)0,690,41+(1010)0,6100,400,167=16,7%=\binom{10}{8}\cdot 0,6^8 \cdot 0,4^2 +\binom{10}{9}\cdot 0,6^9 \cdot 0,4^1+ \binom{10}{10} \cdot 0,6^{10} \cdot 0,4^0 \approx 0,167 = \underline{16,7\%}​​


Darstellung im Diagramm:

Mathematik; Binomialverteilung; 10. Klasse Gymnasium; Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte



Erstelle ein Konto, um die Zusammenfassung zu lesen.

Übungen

Erstelle ein Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie hängen die Bernoulli-Verteilung und die Binomialverteilung miteinander zusammen?

Wie bestimme ich die Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Wie berechnet man die Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable?

Beta

Ich bin Vulpy, Dein AI Lern-Buddy! Lass uns zusammen lernen.