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Lehrperson: Nele

Zusammenfassung

Monotonie: Definition und Vorgehen

Definition

Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt:

  • In welchen xxx​​-Wertebereichen steigt der Graph der Funktion?
  • In welchen xxx​-Wertebereichen fällt der Graph der Funktion?


​

Arten der Monotonie

Mathematik; Extremstellen und Wendestellen; 10. Klasse Gymnasium; Monotonie: Definition und Vorgehen



Monotonie einer Funktion prüfen

VORGEHEN

1.

Bestimme die erste Ableitung: f′(x)f'\left(x\right)f′(x)​

2.

Berechne die Extrema der Funktion.

3.

Teile den Wertebereich in Intervalle ein. Die Grenzwerte und die Extremstellen sind die Grenzen der Intervalle: 

Beispiel mit zwei Extremstellen xE1x_{E1}xE1​​ und xE2x_{E2}xE2​​:

  1. ​Intervall: (−∞,  xE1)Intervall:\ (-\infty,\ \ x_{E1})Intervall: (−∞,  xE1​)​​
  2. ​Intervall: (xE1,  xE2)Intervall:\ (x_{E1},\ \ x_{E2})Intervall: (xE1​,  xE2​)​​
  3. ​Intervall: (xE2,  +∞)Intervall:\ (x_{E2},\ \ +\infty)Intervall: (xE2​,  +∞)​​

4.

Bestimme anhand der Art der Extrema (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) die Steigung innerhalb der Intervalle.


Tipp: Ist die Steigung in einem Intervall nicht ersichtlich anhand der Extrema, dann setze einen beliebigen x-Wert aus dem Intervall in die erste Ableitung ein.


Beispiel

Bestimme die Monotonie von:

f(x)=x3f\left(x\right)=x^3f(x)=x3​​

Ableitungen:

f′(x)=3x2f′′(x)=6xf^\prime\left(x\right)=3x^2\\{f'}^\prime\left(x\right)=6xf′(x)=3x2f′′(x)=6x​​


Extrema:

Notwendige Bedingung: f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​

0=3x2xE=00=3x^2\\x_E=00=3x2xE​=0​​


Hinreichende Bedingung: f′′(x){f'}^\prime\left(x\right)f′′(x)​ prüfen.

f′′(0)=0{f'}^\prime\left(0\right)=0f′′(0)=0​, Sattelpunkt, Steigung der Intervalle ist nicht ersichtlich.


Intervalle:

Intervall: (−∞, 0)Intervall: (0, ∞)Intervall:\ (-\infty,\ 0)\\Intervall:\ (0,\ \infty)Intervall: (−∞, 0)Intervall: (0, ∞)​​


Steigungen in den Intervallen:

Intervall:f′(−1)=3Intervall: f^\prime\left(-1\right)=3 Intervall:f′(−1)=3​ steigend

Intervall:f′(1)=3Intervall: f^\prime\left(1\right)=3 Intervall:f′(1)=3​ steigend


Die Funktion steigt über beide Intervalle.

Die Funktion ist somit monoton steigend für alle -Werte.




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Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Teil 1

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Teil 2

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Teil 3

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Teil 4

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

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Monotonie: Definition und Vorgehen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann ist eine Funktion streng monoton steigend?

Die Funktionswerte nehmen über den ganzen Definitionsbereich zu.

Wie prüft man die Monotonie einer Funktion?

1. Bestimme die erste Ableitung. 2. Berechne die Extrema der Funktion. 3. Teile den Wertebereich in Intervalle ein. Die Grenzwerte und die Extremstellen sind die Grenzen der Intervalle. 4. Bestimme anhand der Art der Extrema (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) die Steigung innerhalb der Intervalle.

Was wird bei der Monotonie von Funktionen untersucht?

Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt: In welchen x-Wertebereichen steigt der Graph der Funktion? In welchen x-Wertebereichen fällt der Graph der Funktion?

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