Monotonie: Definition und Vorgehen

Definition

Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt:

1.	Bestimme die erste Ableitung: $f'\left(x\right)$
2.	Berechne die Extrema der Funktion.
3.	Teile den Wertebereich in Intervalle ein. Die Grenzwerte und die Extremstellen sind die Grenzen der Intervalle: Beispiel mit zwei Extremstellen $x_{E1}$ und $x_{E2}$ : $Intervall:\ (-\infty,\ \ x_{E1})$ $Intervall:\ (x_{E1},\ \ x_{E2})$ $Intervall:\ (x_{E2},\ \ +\infty)$
4.	Bestimme anhand der Art der Extrema (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) die Steigung innerhalb der Intervalle. Tipp: Ist die Steigung in einem Intervall nicht ersichtlich anhand der Extrema, dann setze einen beliebigen x-Wert aus dem Intervall in die erste Ableitung ein.

Bestimme die Monotonie von:

$f\left(x\right)=x^3$

Ableitungen:

$f^\prime\left(x\right)=3x^2\\{f'}^\prime\left(x\right)=6x$

Extrema:

Notwendige Bedingung: $f^\prime\left(x\right)=0$

$0=3x^2\\x_E=0$

Hinreichende Bedingung: ${f'}^\prime\left(x\right)$ prüfen.

${f'}^\prime\left(0\right)=0$ , Sattelpunkt, Steigung der Intervalle ist nicht ersichtlich.

Intervalle:

$Intervall:\ (-\infty,\ 0)\\Intervall:\ (0,\ \infty)$

Steigungen in den Intervallen:

$Intervall: f^\prime\left(-1\right)=3$  steigend

$Intervall: f^\prime\left(1\right)=3$  steigend

Die Funktion steigt über beide Intervalle.

Die Funktion ist somit monoton steigend für alle -Werte.