Monotonie: Definition und Vorgehen

Definition

Bei der Monotonie wird die Veränderung der Steigung einer Funktion untersucht. Es wird Folgendes gefragt:

• In welchen $$x$$​​-Wertebereichen steigt der Graph der Funktion?
  
• In welchen $$x$$​-Wertebereichen fällt der Graph der Funktion?

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Arten der Monotonie

Monotonie einer Funktion prüfen

VORGEHEN

Beispiel

Bestimme die Monotonie von:

$$f\left(x\right)=x^3$$​​

Ableitungen:

$$f^\prime\left(x\right)=3x^2\\{f'}^\prime\left(x\right)=6x$$​​

Extrema:

Notwendige Bedingung: $$f^\prime\left(x\right)=0$$​

$$0=3x^2\\x_E=0$$​​

Hinreichende Bedingung: $${f'}^\prime\left(x\right)$$​ prüfen.

$${f'}^\prime\left(0\right)=0$$​, Sattelpunkt, Steigung der Intervalle ist nicht ersichtlich.

Intervalle:

$$Intervall:\ (-\infty,\ 0)\\Intervall:\ (0,\ \infty)$$​​

Steigungen in den Intervallen:

$$Intervall: f^\prime\left(-1\right)=3$$​ steigend

$$Intervall: f^\prime\left(1\right)=3$$​ steigend

Die Funktion steigt über beide Intervalle.

Die Funktion ist somit monoton steigend für alle -Werte.