Eine Folgeanist eine Auflistung von Zahlen, in der jeder natürlichen Zahl eine bestimmte Zahl zugeordnet wird. Oftmals besteht zwischen den einzelnen Gliedern der Folge eine Gesetzmäßigkeit (vergleiche Beispiel). Durch den Indexnwird angegeben, um das wievielte Glied der Folge es sich handelt.a3ist beispielsweise das dritte Glied der Folgean.
Beispiel
Darstellungsarten
Folgen kann man auf zwei verschiedene Arten mathematisch (als Formel) darstellen. Oftmals kann eine Folge von der einen Darstellungsart in die andere umgewandelt werden.
Explizite Darstellung (Explizite Folge)
Glieder der Folge können durch das Einsetzen von natürlichen Zahlen berechnet werden. Die jeweiligen Vorgänger eines Folgenglieds beeinflussen dieses Folgenglied nicht.
Beispiel
an=nn+(−1)n
a1=11+(−1)1=0
a2=22+(−1)2=1,5
Hinweis: Manche Folgen beginnen mita1als Startwert, andere mita0.
Rekursive Darstellung (Rekursive Folge)
Das nachfolgende Glied wird durch seinemVorgänger berechnet. Oftmals istm=1und manbenötigt nur einen vorangegangenen Wert der Folge (nämlichan−1). Es gibt allerdings auch Fälle für welchem>1gilt. Dann werden mehrerevorangegangene Glieder benötigt, um das nächste zu berechnen.
Beispiel
an=an−1+2
Startwert: a1=1
a2=a1+2=1+2=3
Hinweis: Manche Folgen beginnen mit als Startwert, andere mit a1a0.
Arithmetische und geometrische Folge
Arithmetische Folge
Eine arithmetische Folge ist eine Folge, bei der die Differenz zwischen Werten, die aufeinanderfolgen, konstant ist.
Der nächste Wert in einer Folge ist der vorherige Wert plus ein Summandd.
REKURSIV
an=an−1+d
d ist konstant:d=an−an−1
EXPLIZIT
an=a1+d⋅(n−1)
Hinweis: Hier ist a1 das erste Folgenglied und somit der Startwert.
Geometrische Folge
Eine geometrische Folge ist eine Folge, bei der der Quotient von Werten, die aufeinanderfolgen, konstant ist.
Der nächste Wert in einer Folge ist der vorherige Wert multipliziert mit einem Faktorq.
REKURSIV
an=an−1⋅q
q ist konstant:q=an−1an
EXPLIZIT
an=a1⋅qn−1
Hinweis: Hier ist a1 das erste Folgenglied und somit der Startwert.
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Welche beiden Darstellungsarten gibt es bei Folgen?
Bei Folgen unterscheidet man zwischen der expliziten Darstellung, bei der die Folgenglieder durch Einsetzen natürlicher Zahlen berechnet werden, und der rekursiven Darstellung, bei der die Folgenglieder aus dem vorherigen Folgenglied berechnet werden.
Was ist eine geometrische Folge?
Eine geometrische Folge zeichnet sich dadurch aus, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte konstant ist.
Was ist eine arithmetische Folge?
Eine arithmetische Folge ist dadurch gekennzeichnet, dass die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte konstant bleibt.
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