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Kombinatorik

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

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Lehrperson: Martin

Zusammenfassung

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Hintergrund

Oftmals können Aufgaben nicht direkt mit einer der Kombinatorik-Formeln gelöst werden. Die Aufgaben beinhalten mehrere, miteinander verschachtelte Kombinatorik-Typen. Löse die Probleme einzeln und füge sie am Ende zusammen.



Vorgehen

1.

Identifiziere die unterschiedlichen Kombinationsprobleme der Aufgaben, welche man jeweils mit Kombinatorik-Formeln lösen kann.

2.

Berechne die Anzahl der Kombinationen für jedes einzelne Problem.

3.

Multipliziere die Kombinationsmöglichkeiten der einzelnen Probleme.


Beispiel:

Es gibt 2121​ Konsonanten (KK​) und 55​ Vokale (VV​) im deutschen Alphabet. Wie viele fünfstellige Kombinationen in der Form KVKVKKVKVK​ gibt es, wenn bestimmte Konsonanten nur einmal verwendet werden können und Vokale mehrfach?


Diese Angabe lässt sich in folgende kombinatorische Probleme unterteilen:


Problem 1:
55​ Vokale auf 22​ Positionen aufteilen

Mit Auswahl
Mit Reihenfolge
Mit Wiederholung

à Variation mit Wiederholung

nn​: Anzahl Vokale n=5n=5

kk​: Anzahl Stellen k=2k=2


nk=52=25n^k=5^2=25​​



Problem 2:
2121​ Konsonanten auf 33​ Positionen aufteilen

Mit Auswahl
Mit Reihenfolge
Ohne Wiederholung

à Variation ohne Wiederholung


nn​: Anzahl Konsonanten n=21n=21

kk​: Anzahl Stellen k=3k=3


n!(nk)!=21!(213)!=7 980\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{21!}{(21-3)!}=7\,980​​


Kombination:

257 980=199 50025\cdot 7 \,980=\underline{199 \,500}​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Permutation?

Was ist Kombinatorik?

Warum kann ich nicht immer Formeln verwenden?

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