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Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen

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Zusammenfassung

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen

Abstand von einem Punkt zu einer Geraden

Manchmal ist es nötig, den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade zu bestimmen. Der

Abstand ist hierbei definiert als der kürzeste Weg zwischen der Geraden und dem Punkt. 

Stellt man sich dies bildlich vor, so bedeutet dies, dass der Abstand stets senkrecht zur Geraden gemessen wird. Rechnerisch gibt es mehrere Methoden, die im Folgenden vorgestellt werden.


Variante 1: Mit dem Skalarprodukt

Der Lotpunkt LL ist der Punkt auf der Geraden gg mit dem kürzesten Abstand zum Punkt AA.

Gegeben sind: Gerade g:x=p+tug:\overrightarrow x= \overrightarrow p +t \cdot \overrightarrow u  und der Punkt AA.


VORGEHEN

1.

AL\overrightarrow {AL}​ bestimmen: AL=p+tu0L\overrightarrow {AL}=\overrightarrow p+t\cdot \overrightarrow u - \overrightarrow {0L}

Mathematik; Geraden; 11.-12. Klasse Gymnasium; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen

2.

AL\overrightarrow {AL}​ liegt senkrecht auf u\overrightarrow u.

Setze ALu=0\overrightarrow {AL} \cdot\overrightarrow u=0 und berechne tt (Gleichung lösen).

3.

Berechne den Abstand d=ALd=\lvert \overrightarrow {AL} \rvert.


Variante 2: Mit dem Vektorprodukt

Formel für den Abstand:

d=PA×uud=\frac {\lvert \overrightarrow{PA} \times \overrightarrow u \rvert}{\lvert \overrightarrow u \rvert}​​

PA\overrightarrow{PA}​​

Verbindungsvektor zwischen dem Stützpunkt der Geraden und dem Punkt A

u\overrightarrow{u}​​

Richtungsvektor der Geraden

Mathematik; Geraden; 11.-12. Klasse Gymnasium; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen


VORGEHEN

1.

Verbindungsvektor PA\overrightarrow{PA} zwischen dem Stützpunkt der Geraden und dem Punkt bestimmen.

2.

Alle Elemente in die Formel einsetzen.


Variante 3: Mit einer Hilfsebene

Mittels einer Hilfsebene den Lotpunkt AA​ berechnen.


VORGEHEN

1.

Hilfsebene EE bilden:

EE​ durch AA und senkrecht zu gg.

  • Normalenvektor ist der Richtungsvektor der Geraden: n=u\overrightarrow n = \overrightarrow u
  • Stützpunkt ist der Ortsvektor von AA: 0A\overrightarrow{0A}

Gegeben:

g=x=p+tu,    tRA(xAyAzA)g=\overrightarrow x = \overrightarrow p + t \cdot \overrightarrow u, \ \ \ \ t\in\mathbb{R}\\A(x_A|y_A|z_A)​​


Mathematik; Geraden; 11.-12. Klasse Gymnasium; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen



2.

Schnittpunkt LL zwischen EE und gg bilden.

3.

Abstand dd zwischen AA und LL bilden: d=ALd=|\overrightarrow{AL}|



Reflexion von Punkt an Geraden

Ein Punkt AA soll an einer Geraden gg gespiegelt werden. Berechnet werden soll der Reflexionspunkt AA'.


Mit einer Hilfsebene

Gegeben sind die Gerade g:x=p+tu,   tRg:\overrightarrow x=\overrightarrow p+t \cdot \overrightarrow u,\ \ \ t\in\mathbb{R} und der Punkt A(xAyAzA)A(x_A|y_A|z_A). 


VORGEHEN

1.

Hilfsebene EE bilden.

EE​ durch AA und senkrecht zu gg:

  • Normalenvektor: ne=u\overrightarrow {n_e}= \overrightarrow u
  • Stützpunkt AA
Mathematik; Geraden; 11.-12. Klasse Gymnasium; Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen


2.

Schnittpunkt LL zwischen EE und gg bilden.

3.

Gerade hh bilden:

  • Richtungsvektor: AL\overrightarrow {AL}
  • Stützpunkt AA

4.

Für hh: Streckfaktor tst_s des Schnittpunkts zwischen EE und gg berechnen.

5.

Streckfaktor des Schnittpunkts verdoppeln und in die Gerade hh einsetzen:

0A=0A+2tsAL\overrightarrow{0A'}=\overrightarrow{0A}+2\cdot t_s \cdot \overrightarrow{AL}​​

Somit erhält man den Reflexionspunkt AA'.






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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie kann man grafisch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden bestimmen?

Mit welcher Methode kann man in der analytischen Geometrie den Reflexionspunkt bestimmen, wenn ein Punkt an einer Geraden gespiegelt werden soll?

Welche unterschiedlichen mathematischen Methoden gibt es in der analytischen Geometrie, um den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden zu bestimmen?

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