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Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Vektoren: Normalenform und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

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Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Reflexionspunkt bestimmen

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

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Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensysteme und Koordinatenebenen

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

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Vektorräume & lineare Unabhängigkeit

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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

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Determinante von Matrizen berechnen

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Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

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Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

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Substitutionsmethode verstehen und anwenden

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Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

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Polynomfunktion bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Monotonie: Definition und Vorgehen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionenscharen: Definition & Beispiele

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Ableiten

Differentialrechnung: Definition & Vorgehen

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Ableitung Exponentialfunktion & Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Gleichungen und Funktionen

Exponentialgleichungen lösen

Exponentialfunktionen: Definition, Eigenschaften & Darstellung

Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen

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Logarithmusgleichungen lösen

Logarithmusfunktion: Definition, Eigenschaften & Darstellung

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Zusammengesetzte Funktionen: Ableitungen & Verkettungen

​​Grenzwerte & Asymptoten bestimmen

Newtonverfahren: Definition & Anwendung

Erklärvideo

Zusammenfassung

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Zwei Geraden können verschieden zueinander liegen. Folgende Möglichkeiten gibt es bei den Lagebeziehungen:


Fälle


IDENTISCH

Geraden liegen aufeinander:

  • Richtungsvektoren sind parallel (kollinear)
  • Stützpunkte liegen auf beiden Geraden
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden

PARALLEL

Geraden sind parallel, sie schneiden sich nicht.

  • Richtungsvektoren sind parallel (kollinear)
  • Stützpunkte liegen auf unterschiedlichen Geraden
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden

EIN SCHNITTPUNKT

Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S.

  • Richtungsvektoren sind nicht parallel
  • Geraden haben einen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden

WINDSCHIEF

(nur im Dreidimensionalen möglich)

Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel.

  • Richtungsvektoren sind nicht parallel
  • Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden

​

Gegenseitige Lage bestimmen

Mit einem Gleichungssystem

VORGEHEN

1.

Geraden gleichsetzen, Gleichungssystem bilden.

2.

Gleichungssystem auflösen:

Wahres Ergebnis (z. B. 0=00=00=0​), alle Parameter fallen beim Rechnen weg:

 Geraden identisch

Eindeutiges Ergebnis für sss​ und ttt​:

 Geraden schneiden sich in einem Punkt

Schnittpunkt berechnen, indem man Parameter  oder  in eine der Geradengleichungen einsetzt.

Kein Ergebnis:

 Geraden sind parallel oder windschief

Sie sind parallel, falls deren Richtungsvektoren kollinear sind. Andererseits sind die Geraden windschief.


Tipp: Sind die Richtungsvektoren parallel (kollinear), so sind die Geraden es auch. Liegen die Stützpunkte auch auf derselben Geraden, so sind die Geraden identisch.


Beispiel

Gegeben:

g:x→=(123)+s⋅(100)g:\overrightarrow x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}g:x=⎝⎛​123​⎠⎞​+s⋅⎝⎛​100​⎠⎞​​​


h:x→=(333)+t⋅(011)h:\overrightarrow x = \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}h:x=⎝⎛​333​⎠⎞​+t⋅⎝⎛​011​⎠⎞​​​

Gleichungssystem:

1+s⋅1=3+t⋅02+s⋅0=3+t⋅13+s⋅0=3+t⋅11+s\cdot1=3+t\cdot0\\2+s\cdot0=3+t\cdot1\\3+s\cdot0=3+t\cdot11+s⋅1=3+t⋅02+s⋅0=3+t⋅13+s⋅0=3+t⋅1​​

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. 

Die Geraden sind daher windschief zueinander, da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind.



Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Schneiden sich zwei Geraden g und h, kann man folgendermaßen den Schnittwinkel α\alphaα​ berechnen.

​

Berechnung

Gegeben sind zwei Geraden:

g:x→=p→+s⋅u→g:\overrightarrow x = \overrightarrow p +s\cdot \overrightarrow ug:x=p​+s⋅u​​

h:x→=q→+t⋅v→h:\overrightarrow x = \overrightarrow q +t\cdot \overrightarrow vh:x=q​+t⋅v​​

Für den Schnittwinkel gilt:

cos(α)=∣u→⋅v→∣∣u→∣⋅∣v→∣cos(\alpha)=\frac{|\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v |}{|\overrightarrow u|\cdot|\overrightarrow v|}cos(α)=∣u∣⋅∣v∣∣u⋅v∣​​​



​α=cos−1(∣u→⋅v→∣∣u→∣⋅∣v→∣)\alpha=cos^{-1}\begin{pmatrix}\frac {|\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v |}{|\overrightarrow u | \cdot | \overrightarrow v |}\end{pmatrix}α=cos−1(∣u∣⋅∣v∣∣u⋅v∣​​)​​


​

Kleinster Abstand zwischen windschiefen Geraden

Gegeben sind die Geradengleichungen von zwei Geraden. Es ist bereits bekannt, dass sie windschief zueinander liegen.

g:x→=p→+t⋅u→,   t∈Rh:x→=q→+s⋅v→,   s∈Rg:\overrightarrow x = \overrightarrow p +t\cdot \overrightarrow u,\ \ \ t\in\mathbb{R}\\h:\overrightarrow x=\overrightarrow q + s \cdot \overrightarrow v, \ \ \ s\in\mathbb{R}g:x=p​+t⋅u,   t∈Rh:x=q​+s⋅v,   s∈R​​


VORGEHEN

1.

Bilde aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden einen Normalenvektor (n→=u→×v→)\overrightarrow n=\overrightarrow u \times \overrightarrow v)n=u×v)​ und berechne die Länge des Normalenvektors.

2.

Der Abstand der beiden Geraden berechnet sich dann mit der Hesse’schen Abstandsformel aus der Länge des Normalenvektors und den Stützpunkten der beiden Geraden:

​Dg zu h=∣q→⋅n→−p→⋅n→∣∣n→∣D_{g\ zu\ h}=\frac{|\overrightarrow q \cdot \overrightarrow n - \overrightarrow p \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow n|}Dg zu h​=∣n∣∣q​⋅n−p​⋅n∣​​​


Beispiel

Gegeben:

g:x→=(123)+s⋅(100)g:\overrightarrow x = \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} g:x=⎝⎛​123​⎠⎞​+s⋅⎝⎛​100​⎠⎞​​​


h:x→=(333)+t⋅(011)h:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}h:x=⎝⎛​333​⎠⎞​+t⋅⎝⎛​011​⎠⎞​​​

Normalenvektor und dessen Länge berechnen: n→=(100)×(011)=(0−11)\overrightarrow n=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\1\end{pmatrix}n=⎝⎛​100​⎠⎞​×⎝⎛​011​⎠⎞​=⎝⎛​0−11​⎠⎞​​ 


∣n→∣=02+(−1)2+12=2|\overrightarrow n |=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt2∣n∣=02+(−1)2+12​=2​​


Einsetzen in Hesse’sche Abstandsformel:  

Dg zu h=∣q→⋅n→−p→⋅n→∣∣n→∣=∣(333)⋅(0−11)−(123)⋅(0−11)∣2=12≈0,707D_{g\ zu\ h}=\frac{|\overrightarrow q \cdot \overrightarrow n - \overrightarrow p \cdot \overrightarrow n |}{|\overrightarrow n |}=\frac{\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\end{vmatrix}}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0,707Dg zu h​=∣n∣∣q​⋅n−p​⋅n∣​=2​∣∣​⎝⎛​333​⎠⎞​⋅⎝⎛​0−11​⎠⎞​−⎝⎛​123​⎠⎞​⋅⎝⎛​0−11​⎠⎞​​∣∣​​=2​1​≈0,707​​









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Lerne mit Grundlagen

Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Komponentendarstellung in 2D und 3D

Teil 1

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Teil 2

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Teil 3

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

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Lagebeziehungen zwischen Geraden

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Lagebeziehungen zwischen Geraden

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was bedeutet es, wenn zwei Geraden windschief zueinander sind?

Wenn zwei Geraden windschief zueinander sind, so bedeutet dies, dass die Geraden sich nicht schneiden und ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind.

Welche Teile zweier sich schneidender Geraden benötigt man, um ihren Schnittwinkel zu berechnen?

Um den Schnittwinkel zweier Geraden zu berechnen, benötigt man ihre Richtungsvektoren.

Welche Lage können zwei Geraden zueinander haben?

Zwei Geraden können entweder identisch, parallel zueinander und im Dreidimensionalen auch windschief zueinander sein oder sich schneiden.

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