Lagebeziehungen zwischen Geraden

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Zwei Geraden können verschieden zueinander liegen. Folgende Möglichkeiten gibt es bei den Lagebeziehungen:

Fälle

IDENTISCH Geraden liegen aufeinander: Richtungsvektoren sind parallel (kollinear) Stützpunkte liegen auf beiden Geraden PARALLEL Geraden sind parallel, sie schneiden sich nicht. Richtungsvektoren sind parallel (kollinear) Stützpunkte liegen auf unterschiedlichen Geraden EIN SCHNITTPUNKT Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S. Richtungsvektoren sind nicht parallel Geraden haben einen gemeinsamen Punkt WINDSCHIEF (nur im Dreidimensionalen möglich) Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Richtungsvektoren sind nicht parallel Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt

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Gegenseitige Lage bestimmen

Mit einem Gleichungssystem

VORGEHEN

Tipp: Sind die Richtungsvektoren parallel (kollinear), so sind die Geraden es auch. Liegen die Stützpunkte auch auf derselben Geraden, so sind die Geraden identisch.

Beispiel

Gegeben:

$g:\overrightarrow x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$​​

$h:\overrightarrow x = \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$​​

Gleichungssystem:

$1+s\cdot1=3+t\cdot0\\2+s\cdot0=3+t\cdot1\\3+s\cdot0=3+t\cdot1$​​

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. 

Die Geraden sind daher windschief zueinander, da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind.

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Schneiden sich zwei Geraden g und h, kann man folgendermaßen den Schnittwinkel $\alpha$​ berechnen.

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Berechnung

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Kleinster Abstand zwischen windschiefen Geraden

Gegeben sind die Geradengleichungen von zwei Geraden. Es ist bereits bekannt, dass sie windschief zueinander liegen.

$g:\overrightarrow x = \overrightarrow p +t\cdot \overrightarrow u,\ \ \ t\in\mathbb{R}\\h:\overrightarrow x=\overrightarrow q + s \cdot \overrightarrow v, \ \ \ s\in\mathbb{R}$​​

VORGEHEN

Beispiel

Gegeben:

$g:\overrightarrow x = \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}$​​

$h:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$​​

Normalenvektor und dessen Länge berechnen: $\overrightarrow n=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\1\end{pmatrix}$​ 

$|\overrightarrow n |=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt2$​

Einsetzen in Hesse’sche Abstandsformel:  

$D_{g\ zu\ h}=\frac{|\overrightarrow q \cdot \overrightarrow n - \overrightarrow p \cdot \overrightarrow n |}{|\overrightarrow n |}=\frac{\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\end{vmatrix}}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0,707$​​