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Lagebeziehungen zwischen Geraden

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Zusammenfassung

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Zwei Geraden können verschieden zueinander liegen. Folgende Möglichkeiten gibt es bei den Lagebeziehungen:


Fälle


IDENTISCH

Geraden liegen aufeinander:

  • Richtungsvektoren sind parallel (kollinear)
  • Stützpunkte liegen auf beiden Geraden
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden

PARALLEL

Geraden sind parallel, sie schneiden sich nicht.

  • Richtungsvektoren sind parallel (kollinear)
  • Stützpunkte liegen auf unterschiedlichen Geraden
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden

EIN SCHNITTPUNKT

Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S.

  • Richtungsvektoren sind nicht parallel
  • Geraden haben einen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden

WINDSCHIEF

(nur im Dreidimensionalen möglich)

Geraden schneiden sich nicht und sind nicht parallel.

  • Richtungsvektoren sind nicht parallel
  • Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt
Mathematik; Vektoren und Geraden im Raum; 10. Klasse Gymnasium; Lagebeziehungen zwischen Geraden


Gegenseitige Lage bestimmen

Mit einem Gleichungssystem

VORGEHEN

1.

Geraden gleichsetzen, Gleichungssystem bilden.

2.

Gleichungssystem auflösen:

Wahres Ergebnis (z. B. 0=00=0), alle Parameter fallen beim Rechnen weg:

 Geraden identisch

Eindeutiges Ergebnis für ss und tt:

 Geraden schneiden sich in einem Punkt

Schnittpunkt berechnen, indem man Parameter  oder  in eine der Geradengleichungen einsetzt.

Kein Ergebnis:

 Geraden sind parallel oder windschief

Sie sind parallel, falls deren Richtungsvektoren kollinear sind. Andererseits sind die Geraden windschief.


Tipp: Sind die Richtungsvektoren parallel (kollinear), so sind die Geraden es auch. Liegen die Stützpunkte auch auf derselben Geraden, so sind die Geraden identisch.


Beispiel

Gegeben:

g:x=(123)+s(100)g:\overrightarrow x = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}​​


h:x=(333)+t(011)h:\overrightarrow x = \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}​​

Gleichungssystem:

1+s1=3+t02+s0=3+t13+s0=3+t11+s\cdot1=3+t\cdot0\\2+s\cdot0=3+t\cdot1\\3+s\cdot0=3+t\cdot1​​

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. 

Die Geraden sind daher windschief zueinander, da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind.



Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Schneiden sich zwei Geraden g und h, kann man folgendermaßen den Schnittwinkel α\alpha​ berechnen.


Berechnung

Gegeben sind zwei Geraden:

g:x=p+sug:\overrightarrow x = \overrightarrow p +s\cdot \overrightarrow u​​

h:x=q+tvh:\overrightarrow x = \overrightarrow q +t\cdot \overrightarrow v​​

Für den Schnittwinkel gilt:

cos(α)=uvuvcos(\alpha)=\frac{|\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v |}{|\overrightarrow u|\cdot|\overrightarrow v|}​​



α=cos1(uvuv)\alpha=cos^{-1}\begin{pmatrix}\frac {|\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v |}{|\overrightarrow u | \cdot | \overrightarrow v |}\end{pmatrix}​​



Kleinster Abstand zwischen windschiefen Geraden

Gegeben sind die Geradengleichungen von zwei Geraden. Es ist bereits bekannt, dass sie windschief zueinander liegen.

g:x=p+tu,   tRh:x=q+sv,   sRg:\overrightarrow x = \overrightarrow p +t\cdot \overrightarrow u,\ \ \ t\in\mathbb{R}\\h:\overrightarrow x=\overrightarrow q + s \cdot \overrightarrow v, \ \ \ s\in\mathbb{R}​​


VORGEHEN

1.

Bilde aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden einen Normalenvektor (n=u×v)\overrightarrow n=\overrightarrow u \times \overrightarrow v) und berechne die Länge des Normalenvektors.

2.

Der Abstand der beiden Geraden berechnet sich dann mit der Hesse’schen Abstandsformel aus der Länge des Normalenvektors und den Stützpunkten der beiden Geraden:

Dg zu h=qnpnnD_{g\ zu\ h}=\frac{|\overrightarrow q \cdot \overrightarrow n - \overrightarrow p \cdot \overrightarrow n|}{|\overrightarrow n|}​​


Beispiel

Gegeben:

g:x=(123)+s(100)g:\overrightarrow x = \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} ​​


h:x=(333)+t(011)h:\overrightarrow x=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}​​

Normalenvektor und dessen Länge berechnen: n=(100)×(011)=(011)\overrightarrow n=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\1\end{pmatrix} 


n=02+(1)2+12=2|\overrightarrow n |=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt2


Einsetzen in Hesse’sche Abstandsformel:  

Dg zu h=qnpnn=(333)(011)(123)(011)2=120,707D_{g\ zu\ h}=\frac{|\overrightarrow q \cdot \overrightarrow n - \overrightarrow p \cdot \overrightarrow n |}{|\overrightarrow n |}=\frac{\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\end{vmatrix}}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0,707​​









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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was bedeutet es, wenn zwei Geraden windschief zueinander sind?

Welche Teile zweier sich schneidender Geraden benötigt man, um ihren Schnittwinkel zu berechnen?

Welche Lage können zwei Geraden zueinander haben?

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