Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Schritte

Im Folgenden sind die wichtigen Schritte einer Kurvendiskussion notiert. Je nach Aufgabe muss man nicht alle Schritte durchführen.

1. Definitionsbereich bestimmen
2. Grenzwerte bestimmen
3. Symmetrie bestimmen
4. Achsenschnittpunkte bestimmen
5. Ableitungen berechnen
6. Extrema berechnen
7. Wendepunkte berechnen
8. Graph der Funktion skizzieren

Beispiel - Untersuche die Funktion $$f\left(x\right)=-x^3+6x^2-9x$$​ mithilfe der Kurvendiskussion:

1.        Definitionsbereich bestimmen:

Der Definitionsbereich ist nicht eingeschränkt: $$\underline{x\in\mathbb{R}}$$​

2.      Grenzwerte bestimmen:

Das Verhalten der Funktionen im Unendlichen ist durch den Term $$-x^3$$​ am stärksten bestimmt, da dieser am schnellsten wächst bzw. fällt.

$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{f\left(x\right)}=\underline{-\infty},\\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{f\left(x\right)}=\underline{\infty}$$​​

3.      Symmetrie bestimmen:

Da die Funktion sowohl positive, als auch negative Exponenten enthält, liegt weder eine Punktsymmetrie noch eine Achsensymmetrie vor.

4.      Achsenschnittpunkte bestimmen:

Schnittpunkte mit $$x$$​-Achse (Nullstellen):

$$0=-x^3+6x^2-9x\\\underline{{\rightarrow x}_1=0}$$​​

Es bleibt zu lösen (nach Division durch $$x$$​): 

$$0=-x^2+6x-9\rightarrow0=x^2-6x+9$$​​

Dazu kann man die -Formel nutzen:

$$\underline{x_\frac{2}{3}}=-\frac{\left(-6\right)}{2}\pm\sqrt{\frac{\left(6\right)^2}{4}-9}=3\pm0=\underline{3}$$​​

Schnittpunkt mit -Achse:

$$\underline{f\left(x=0\right)}=-\left(0\right)^3+6x^2-9\cdot 0=\underline{0}$$​​

5.      Ableitungen berechnen:

$$f^\prime\left(x\right)=-3x^2+12x-9\\f^{\prime\prime}(x)=-6x+12\\f^{\prime\prime\prime}\left(x\right)=-6$$​​

6.      Lokale Extrema berechnen:

$$0=f^\prime\left(x\right)=-3x^2+12x-9\rightarrow0=x^2-4x+3$$​​

Erneutes nutzen der $$p/q$$​-Formel ergibt als potentielle Extremstellen:

$$x_\frac{1}{2}=-\frac{\left(-4\right)}{2}\pm\sqrt{\frac{\left(4\right)^2}{4}-3}=2\pm1$$​​

$$x_1=3\ \ \ \$$​                   ;               $$x_2=1$$​

$$f^{\prime\prime}\left(x_1=3\right)=-6\cdot 3+12=-6<0\rightarrow$$​ lokales Maximum

$$f^{\prime\prime}\left(x_2=1\right)=-6\cdot 1+12=6>0\rightarrow$$​ lokales Minimum

Das Maximum liegt also bei $$\underline{P_1(3|0)}$$​:

$$f\left(x_1=3\right)=-3^3+6\cdot3^2-9\cdot3=0$$​​

Und das Minimum liegt bei $$\underline{P_2(1|-4)}$$​:

$$f\left(x_2=1\right)=-1^3+6\cdot 1^2-9\cdot1=-4$$​​

7.       Wendepunkte berechnen:

Eine potenzielle Wendestelle ist gegeben durch:

$$0=f^{\prime\prime}\left(x\right)=-6x+12\rightarrow x=2$$​​

Dabei handelt es sich um einen Links-Rechts-Wendepunkt, weil

$$f^{\prime\prime\prime}\left(x=2\right)=-6$$​​

Der Wendepunkt liegt also bei $$\underline{P_3(2|-2)}$$​, denn:

$$f\left(x=2\right)=-2^3+6\cdot2^2-9\cdot2=-2$$​​

8.      Graph der Funktion skizzieren:

	​$$P_1(3|0)$$​​	Maximum
	​$$P_2(1|-4)$$​​	Minimum
	​$$P_3(2|-2)$$​​	Wendepunkt
	​$$P_4(0|0)$$​​	Schnittpunkt mit $$x-$$​ und $$y-$$​Achse