Paramètres d’une fonction quadratique

Définition

Les paramètres d’une fonction quadratique indiquent les transformations qui ont été faites pour obtenir la fonction quadratique à partir de la fonction $$x^2$$​.

$$f(x)={a\left(x-u\right)}^2+v$$​​

$$a$$​ : facteur de croissance

$$u$$​ : déplacement horizontal

$$v$$​ : déplacement vertical

On dit que la fonction est en forme « paramétrique ».

Sommet

Le sommet de la parabole est son point le plus haut ou le plus bas (minimum/maximum).

Les paramètres $$u$$​ et $$v$$​ donnent les coordonnées du sommet : $$S\left(u\ ;v\right).$$​

Propriétés des paramètres

Facteur $$a$$​

​$$a>0$$​​	​$$a<0$$​​	​$$\left|a\right|>1$$​​	​$$\left|a\right|<1$$​​
La parabole est ouverte vers le haut.	La parabole est ouverte vers le bas.	La parabole est plus étroite.	La parabole est plus large.

Déplacements $$\mathbf{u}$$​ et $$\mathbf{v}$$​

​$$u>0$$​​	​$$u<0$$​​	​$$v>0$$​​	​$$v<0$$​​
La parabole est décalée vers la droite.	La parabole est décalée vers la gauche.	La parabole est décalée vers le haut.	La parabole est décalée vers le bas.

Trouver la forme paramétrique

En utilisant le complément quadratique :

MÉTHODE

Exemple

$$f\left(x\right)=2x^2-4x+6$$​​

Factorise :

$$f(x)=2(x^2-2x)+6$$​​

Complétion du carré :

$$f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6$$​​

Identité remarquable :

$$f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6$$​​

Supprime la parenthèse extérieure :

$$\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}$$​​

Trouver la forme polynomiale

MÉTHODE

Exemple 

$$f(x)={2(x-3)}^2+7$$​​

Calcule :

$$f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}$$​​

Déterminer une fonction quadratique avec un point et le sommet

Un point sur la fonction et le sommet sont donnés. Le but est de déterminer le paramètre $$a$$​ de la formule paramétrique.

MÉTHODE

Exemple

Donné : 

$$S(1;4), P(0;-2)$$​​

Introduis les coordonnées dans la formule paramétrique :

$$f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4$$​​

Introduis le point P :

$$-2={a\left(0-1\right)}^2+4\\-2=a+4$$​​

Résous en a :

​$$a=-6$$​​

Solutions : 

$$a=-6, u=1\ et\ v=4$$​​

Formule polynomiale : 

$$\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}$$​​