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Nombres relatifs : multiplication, division et puissance

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Paramètres d’une fonction quadratique

Définition

Les paramètres d’une fonction quadratique indiquent les transformations qui ont été faites pour obtenir la fonction quadratique à partir de la fonction x2x^2x2​.


f(x)=a(x−u)2+vf(x)={a\left(x-u\right)}^2+vf(x)=a(x−u)2+v​​


aaa​ : facteur de croissance

uuu​ : déplacement horizontal

vvv​ : déplacement vertical


On dit que la fonction est en forme « paramétrique ».


Sommet

Le sommet de la parabole est son point le plus haut ou le plus bas (minimum/maximum).

Les paramètres uuu​ et vvv​ donnent les coordonnées du sommet : S(u ;v).S\left(u\ ;v\right).S(u ;v).​


Propriétés des paramètres

Facteur aaa​

​a>0a>0a>0​​
​a<0a<0a<0​​
​∣a∣>1\left|a\right|>1∣a∣>1​​
​∣a∣<1\left|a\right|<1∣a∣<1​​

La parabole est ouverte vers le haut.

La parabole est ouverte vers le bas.

La parabole est plus étroite.

La parabole est plus large.

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Déplacements u\mathbf{u}u​ et v\mathbf{v}v​

​u>0u>0u>0​​
​u<0u<0u<0​​
​v>0v>0v>0​​
​v<0v<0v<0​​

La parabole est décalée vers la droite.

La parabole est décalée vers la gauche.

La parabole est décalée vers le haut.

La parabole est décalée vers le bas.

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Trouver la forme paramétrique

En utilisant le complément quadratique :


MÉTHODE

1.

Mets en évidence le coefficient de x2x^2x2​ devant x2x^2x2​ et xxx​.


f(x)=a (x2+bax)+cf\left(x\right)=a\ \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+cf(x)=a (x2+ab​x)+c​​


2.

Complétion du carré :

Complète le terme entre parenthèses pour former une identité remarquable. Puis soustrais l’opposé.


x2+bax+(b2a)2⏟compleˊteˊ−(b2a)2⏟soustraisx^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{compl\acute{e}t\acute{e}}-\underbrace{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}_{soustrais}x2+ab​x+compleˊteˊ(2ab​)2​​−soustrais(2ab​)2​​​​


3.

Factorise grâce à l’identité remarquable.

4.

Supprime la parenthèse de l’étape 1.


Exemple

f(x)=2x2−4x+6f\left(x\right)=2x^2-4x+6f(x)=2x2−4x+6​​


Factorise :

f(x)=2(x2−2x)+6f(x)=2(x^2-2x)+6f(x)=2(x2−2x)+6​​


Complétion du carré :

f(x)=2(x2−2x+1−1⏟!)+6f(x)=2(x^2-2x+\underbrace{1-1}_!)+6f(x)=2(x2−2x+!1−1​​)+6​​


Identité remarquable :

f(x)=2((x−1)2−1)+6f(x)=2({(x-1)}^2-1)+6f(x)=2((x−1)2−1)+6​​


Supprime la parenthèse extérieure :

f(x)=2(x−1)2+4‾\underline{f(x)={2(x-1)}^2+4}f(x)=2(x−1)2+4​​​


Trouver la forme polynomiale

MÉTHODE

1.

Calcule la parenthèse.

2.

Classe les termes.


Exemple 

f(x)=2(x−3)2+7f(x)={2(x-3)}^2+7f(x)=2(x−3)2+7​​


Calcule :

f(x)=2(x2−6x+9)+7f(x)=2x2−12x+18+7f(x)=2x2−12x+25‾f(x)=2\left(x^2-6x+9\right)+7\\f(x)=2x^2-12x+18+7\\\underline{f(x)=2x^2-12x+25}f(x)=2(x2−6x+9)+7f(x)=2x2−12x+18+7f(x)=2x2−12x+25​​​


Déterminer une fonction quadratique avec un point et le sommet

Un point sur la fonction et le sommet sont donnés. Le but est de déterminer le paramètre aaa​ de la formule paramétrique.


MÉTHODE

1.

Introduis le sommet S(u;v)S(u;v)S(u;v)​ dans la formule paramétrique pour uuu​ et vvv​ : 

f(x)=a(x−u)2+vf(x)={a\left(x-u\right)}^2+vf(x)=a(x−u)2+v​​

2.

Introduis le point P(x;y)P(x;y)P(x;y)​ dans la fonction :

y=a(x−u)2+vy={a\left(x-u\right)}^2+vy=a(x−u)2+v​​

3.

Résous l’équation en aaa​.


Exemple

Donné : 

S(1;4),P(0;−2)S(1;4), P(0;-2)S(1;4),P(0;−2)​​


Introduis les coordonnées dans la formule paramétrique :


f(x)=a(x−1)2+4f(x)={a\left(x-1\right)}^2+4f(x)=a(x−1)2+4​​


Introduis le point P :

−2=a(0−1)2+4−2=a+4-2={a\left(0-1\right)}^2+4\\-2=a+4−2=a(0−1)2+4−2=a+4​​


Résous en a :

​a=−6a=-6a=−6​​

Solutions : 

a=−6,u=1 et v=4a=-6, u=1\ et\ v=4a=−6,u=1 et v=4​​


Formule polynomiale : 

f(x)=−6(x−1)2+4‾\underline{f(x)={-6\left(x-1\right)}^2+4}f(x)=−6(x−1)2+4​​​




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Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Paramètres d'une fonction quadratique

Unité 1

Paramètres d'une fonction quadratique

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment savoir la direction de la parabole et son écartement ?

Il suffit de regarder le facteur a qui multiplie x^2. Si^'il est positif, la parabole est ouverte vers le haut, s'il est négatif vers le bas. S'il est plus grand que 1, la parabole sera plus étroite et s'il est plus petit que 1 elle sera plus large.

Comment trouver le sommet d'une parabole ?

Lorsque la parabole est donnée sous sa forme paramétrique [f(x) = a(x - u)^2 + v] c'est très facile, le sommet de la parabole se trouve au point P(u; v). Si elle est donnée sous forme polynomiale, transforme la fonction pour trouver la fonction paramétrique.

C'est quoi la différence entre la forme paramétrique et la forme d'une fonction quadratique ?

La forme paramétrique d'une fonction quadratique est la suivante : f(x) = a(x - u)^2 + v tandis que la forme polynomiale est la suivante : f(x) = ax^2 + bx + c

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