Cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 qui décrit le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle.

À partir de l’axe des x positif, on dessine un angle $\alpha.$ On mesure l’angle en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Mathématiques; Transformations géométriques; 2e Collège; Cercle trigonométrique

Sinus et cosinus

En utilisant le point d’intersection P entre la droite définissant l’angle et le cercle unité, on peut lire les valeurs du sinus et du cosinus.

$sin{\left(\alpha\right)}=y_P$	Le sinus de l’angle $\alpha$ est la coordonnée $y$ du point P.
$cos{\left(\alpha\right)}=x_P$	Le cosinus de l’angle $\alpha$ est la coordonnée $x$ du point P.

Tangente

En utilisant le point d’intersection Q entre la droite définissant l’angle et la tangente au cercle parallèle à l’axe des $y$ , on peut lire les valeurs de la tangente.

$sin{\left(\alpha\right)}=y_P$	La tangente de l’angle $\alpha$ est la coordonnée $y$ du point Q
Alternative :
$cos{\left(\alpha\right)}=x_P$	La tangente de l’angle $\alpha$ est le rapport des coordonnées du point P.

Méthode pour les exercices types

Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente

Déterminer les valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente d’angle donné à l’aide du cercle trigonométrique.

MÉTHODE

1.	Dessine l’angle sur le cercle unité.
2.	Lis les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente sur le cercle unité.

Exemple - Angle $\alpha=180°$ 

Dans le cercle unité :

Mathématiques; Transformations géométriques; 2e Collège; Cercle trigonométrique

Lire les valeurs :

$sin{\left(\alpha\right)}=0\\cos{\left(\alpha\right)}=-1\\tan(\alpha)=0$ 

Déterminer l’angle

Comment déterminer un angle à partir d’une valeur donnée du cosinus ?

MÉTHODE

1.

Dessine une droite perpendiculaire à l’axe des cosinus (l’axe des $x$ ) passant par la valeur donnée.

Si, par exemple, la valeur du cosinus de 0.5 est donnée, dessine la perpendiculaire à l’axe des cosinus passant par 0.5.

2.

Détermine les points d’intersection du cercle avec le cercle unité et lis les angles correspondants.

Remarque : Si la valeur donnée est le sinus, applique la même méthode en utilisant une droite perpendiculaire à l’axe des sinus (l’axe des $y$ )

Exemple : $cos(\alpha)=0.5$

Dessine la droite passant par 0.5 :

Mathématiques; Transformations géométriques; 2e Collège; Cercle trigonométrique

Lis les angles correspondants :

Mathématiques; Transformations géométriques; 2e Collège; Cercle trigonométrique

Angles :

$\alpha=60°$ ou $\alpha=300°$

Propriétés importantes

RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Si certaines valeurs du cosinus, du sinus ou de la tangente sont déjà connues, on peut aussi déterminer les valeurs d’autres angles en considérant la géométrie du cercle.

$90°$ :	$cos(90°-β)=sinβ\\cos{\left(\beta\right)}=sin(90°+β)$
$180°$ :	$cos(180°-β)=-cos(β)\\sin(180°-β)=sin(β)\\cos(180°+β)=-cos(β)\\sin(180°+β)=-sin(β)$
$360°$ :	$cos(360°-β)=cos(β)\\sin(360°-β)=-sin(β)$

Exemple : $cos(120°)=-0.5$ , détermine $cos(60°)$ :

$cos(60°)=cos(180°-120°)=-cos(120°)=-(-0.5)=0.5$ 

Fonctions trigonométriques

Les sinus, cosinus et tangente peuvent également être interprétés comme des fonctions trigonométriques, où la valeur $x$ représente l'angle en radians.

Sinus $\mathbf{sin}\left(\mathbf{x}\right)$

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Cosinus $\mathbf{cos}\left(\mathbf{x}\right)$

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Tangente $\ \mathbf{tan}\left(\mathbf{x}\right)$

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