Fonctions quadratiques : optimisation

Problèmes d’optimisation

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée.

Ici, nous nous intéressons à des grandeurs qui peuvent être représentées par une fonction quadratique.

Solution d’un problème d’optimisation quadratique

Le maximum ou le minimum de la fonction est décrit par le sommet.

MÉTHODE

Exemple

Le périmètre d’un rectangle mesure 24cm. Détermine les longueurs des côtés $$a$$​ et $$b$$​ pour que l’aire du rectangle soit maximale.

Côtés : 

$$a$$​ et $$b$$​

Périmètre : 

 $$24=2a+2b$$​

Transforme :

$$b=12-a$$​​

Équation de la fonction - Aire : 

$$Aire=a\cdot b : f\left(a\right)=a(12-a)$$​​

Déterminer la forme paramétrique :

$$f(a) = a(12-a)\\f(a) = -a^2+12a\\f(a) = -(a^2-12a)\\f(a) = -{(a-6)}^2+36$$​​

Sommet : 

$$S(6;36)=(a;f_{max})$$​​

Côtés du rectangle maximal : 

​$$a=6\ cm, b=6\ cm$$​​