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Enseignant: Laurena

Résumés

Fonctions quadratiques : optimisation

Problèmes d’optimisation

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée.

Ici, nous nous intéressons à des grandeurs qui peuvent être représentées par une fonction quadratique.



Solution d’un problème d’optimisation quadratique

Le maximum ou le minimum de la fonction est décrit par le sommet.


MÉTHODE

1.

Détermine la fonction quadratique. 

Conseil : Si c’est possible, utilise les paramètres de la fonction. Si trois points sont donnés, tu peux déterminer la fonction à l’aide d’un système d’équations.

2.

Écris la fonction en forme paramétrique.

3.

Extrais les coordonnées du sommet.

Ces valeurs optimisent l’équation quadratique et sont donc la solution du problème.

4.

Réponds à la question posée par le problème.


Exemple

Le périmètre d’un rectangle mesure 24cm. Détermine les longueurs des côtés aaa​ et bbb​ pour que l’aire du rectangle soit maximale.


Côtés : 

aaa​ et bbb​

Périmètre : 

 24=2a+2b24=2a+2b24=2a+2b​

Transforme :

b=12−ab=12-ab=12−a​​


Équation de la fonction - Aire : 

Aire=a⋅b:f(a)=a(12−a)Aire=a\cdot b : f\left(a\right)=a(12-a)Aire=a⋅b:f(a)=a(12−a)​​


Déterminer la forme paramétrique :

f(a)=a(12−a)f(a)=−a2+12af(a)=−(a2−12a)f(a)=−(a−6)2+36f(a) = a(12-a)\\f(a) = -a^2+12a\\f(a) = -(a^2-12a)\\f(a) = -{(a-6)}^2+36f(a)=a(12−a)f(a)=−a2+12af(a)=−(a2−12a)f(a)=−(a−6)2+36​​


Sommet : 

S(6;36)=(a;fmax)S(6;36)=(a;f_{max})S(6;36)=(a;fmax​)​​


Côtés du rectangle maximal : 

​a=6 cm,b=6 cma=6\ cm, b=6\ cma=6 cm,b=6 cm​​




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Durée:
Fonctions quadratiques : optimisation

Unité 1

Fonctions quadratiques : optimisation

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment trouver le sommet d'une fonction quadratique ?

Lorsque la fonction est sous forme paramétrique f(X) = a(x- u)^2 + v, le sommet se trouve au point P(u ; v)

Comment faire pour optimiser une fonction quadratique ?

À l'aide des informations qui te sont données dans le problème, tu dois former une équation quadratique. Dans une équation quadratique le point maximal (ou minimal) est le sommet. Ecris ton équation sous forme paramétrique afin de trouver plus facilement ce point.

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