Fonction exponentielle : propriétés et déplacements

Définition

Dans une fonction exponentielle, la variable apparaît dans l’exposant (ou les exposants).

Les fonctions exponentielles sont souvent utilisées pour décrire des processus de croissance ou de décroissance.

$$f\left(x\right)=a^x$$​​

La base $$a$$​ est un nombre constant supérieur à zéro : $$a\in\mathbb{R}^+$$​.

Fonctions de base

Les fonctions exponentielles de la forme $$a^x$$​ peuvent être appelées fonctions de base des fonctions exponentielles.

Pour toutes les bases $$a$$​, la fonction est définie pour toutes les valeurs réelles de $$x$$​ et peut atteindre toutes les valeurs réelles positives de $$y.$$​

Propriétés

Chaque fonction de base…

• passe par les points $$(0;1)$$​, $$(1;a)$$​ et $$(-1;\frac{1}{a})$$​.
  
• avec $$a>1$$​ est strictement croissante.
  
• avec $$0<a<1$$​ est strictement décroissante.
  

Graphe

$$\mathbf{a}>\mathbf{1}$$​ : FONCTION CROISSANTE	$$\mathbf{0}<\mathbf{a}<\mathbf{1}$$​ : FONCTION DÉCROISSANTE
Tableau de valeurs pour $$\ f(x)=2^x$$​	Tableau de valeurs pour $$\ f\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$​

​

Fonction exponentielle générale

La fonction exponentielle générale est une forme modifiée de la fonction de base.

Formule

​

Domaine de définition $$\mathbb{D}$$​

Pour toutes les bases $$a$$​, la fonction est définie pour toutes les valeurs réelles de $$x$$​ :

$$\mathbb{D}\ =\ \mathbb{R}$$​​

Image de la fonction

Pour toutes les bases $$a$$​, l’image de la fonction se décale de $$d$$​ ($$y>d$$​) :

$$\mathbb{A}=\mathbb{R}>d$$​​

Lorsque $$b$$​ est négatif, l’image de la fonction s’inverse ($$y<d$$​) :

$$\mathbb{A}=\mathbb{R}<d$$​​

Facteur

$$\left|\mathbf{b}\right|>\mathbf{1}\$$​ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $$y$$​	$$\left|\mathbf{b}\right|<\mathbf{1}$$​ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $$x$$​

$$\mathbf{b}$$​ NÉGATIF – SYMÉTRIE AUTOUR DE L’AXE DES $$x$$​

Déplacement horizontal et vertical

$$\mathbf{c}<\mathbf{0}$$​ : HORIZONTAL VERS LA GAUCHE	$$\mathbf{c}>\mathbf{0}\$$ : HORIZONTAL VERS LA DROITE

$$\mathbf{d}<\mathbf{0}\$$​ : VERTICAL VERS LE BAS	$$\mathbf{d}>\mathbf{0}\$$​ : VERTICAL VERS LE HAUT