Homothétie : propriétés, facteur et centre

Définition

On parle d’homothétie lorsqu’une figure est réduite, agrandie et/ou reflétée. Si on connecte plusieurs points originaux avec leurs points correspondants dans l’image, les droites tracées se croisent toujours en un seul point, le centre d’homothétie.

Mathématiques; Similitude; 11e Harmos / CO; Homothétie : propriétés, facteur et centre

Propriétés de figures transformées

Les angles restent les mêmes.
Les rapports entre les côtés restent les mêmes.
La figure originale et l’image sont parallèles.
Lorsque le centre est entre les figures, l’image est tournée de 180°.

Facteur d’homothétie $\mathbf{k}$

On peut déterminer une constante $k$ qui donne le rapport de grandeur entre la figure originale et son image :

$k=\frac{Longueur\ de\ l' i m a g e}{Longueur\ originale}$

Ce rapport reste le même lorsqu’on compare

les longueurs des côtés de la figure originale et de l’image ; et	$k=\frac{\bar{A^\prime B^\prime}}{\bar{AB}}$
les distance entre le centre et chaque figure.	$k=\frac{\bar{ZB^\prime}}{\bar{ZB}}$

Constante négative

L’image se trouve de l’autre côté du centre.

Inversion du scalaire

Rapport de la figure originale à l’image (inversion) :

$k_{inverse}=\frac{1}{k}$

Aire et volume

Changement d’aire ou de volume :

$A_{image}=A_{original}\cdot k^2$

$V_{image}=V_{originale}\cdot\left|k\right|^3$

Méthode pour les exercices types

Déterminer le facteur $k$

MÉTHODE

1.

Détermine

Une longueur de la figure originale ; ou
La distance d’un point de la figure originale au centre.

2.

Détermine la longueur correspondante de l’image.

3.

Calcule le rapport entre la longueur de l’image et la longueur de la figure originale.

Attention : Si chaque point de l’image se trouve de l’autre côté du centre, le scalaire est négatif.

Dessiner l’image

MÉTHODE

1.	Dessine une droite passant par chaque point de la figure originale et par le centre.
2.	Détermine les distances des points de l’image au centre.
3.	Multiplie par les distances par le facteur donné.
4.	Reporte les longueurs trouvées sur les droites pour trouver les points de l’image.

Attention : Si le scalaire est négatif, l’image se trouve de l’autre côté du centre.

Cas particulier : Lorsque tu veux construire l’homothétie d’un cercle, détermine la position du centre et le rayon grâce au facteur d’homothétie.

Centre d’homothétie de deux cercles

On peut construire le centre d’homothétie de deux cercles à partir des centres de chaque cercle.

MÉTHODE

1.	Connecte les deux centres par une droite ( $l$ ).
2.	Dessine une droite quelconque ( $p$ ) passant par le centre du premier cercle. Dessine une droite parallèle ( $p'$ ) passant par le centre du deuxième cercle.
CENTRE D’HOMOTHÉTIE AU MILIEU
3.	Dessine une droite de connexion ( $s$ ) entre l’intersection de la première droite ( $p$ ) avec le premier cercle et l’intersection opposée de la ligne parallèle ( $p'$ ) avec le second cercle.
4.	Le centre d’homothétie $0$ se trouve à l’intersection de la droite $s$ avec la droite $l$ .

CENTRE D’HOMOTHÉTIE À L’EXTÉRIEUR
3.	Dessine une droite de connexion ( $s$ ) entre l’intersection de la première droite ( $p$ ) avec le premier cercle et l’intersection équilatérale de la ligne parallèle ( $p'$ ) avec le second cercle.
4.	Le centre d’homothétie $0$ se trouve à l’intersection de cette droite ( $s$ ) avec la droite entre les centres ( $l$ ).

Figure inscrite par homothétie

Dans certains cas, on peut utiliser l’homothétie pour construire une figure inscrite dans un cercle par agrandissement.

MÉTHODE

1.

Place la figure donnée sous forme miniature au centre du cercle :

Veille à garder les bons rapports entre les côtés.

Le centre de la figure doit être sur le centre du cercle.

2.

Dessine des droites de connexion passant par le centre et les sommets de la figure miniature.

3.

Par homothétie, agrandis la figure au maximum de sorte que les sommets se trouvent sur le cercle.

Exemple

But	Construction