Propriétés des puissances et des racines

Définition

Dans la notation d’une puissance, on appelle le chiffre du bas « la base » et le chiffre du haut « l’exposant ».

Exemple

Dans l’expression $3^2$ , la base est $3$ et l’exposant est $2$ .

Priorité des opérations

Dans le calcul d’une expression mathématique, les puissances et racines ont la priorité sur le reste des opérations.

Rappel : Cet ordre de priorité peut être modifié par l’ajout de parenthèses. La partie d’une expression entre parenthèses est toujours prioritaire sur le reste des opérations.

Exemple

Calcule l’expression suivante :

$2+3^2\cdot\ 4\ -8\ +\sqrt{1+3\cdot8}$ 

Commence par les puissances et racines :

(A l’intérieur de la racine, on applique également l’ordre de priorité des opérations.)

$2+3^2\cdot\ 4\ -8\ +\sqrt{1+3\cdot8}=\\2+9\cdot\ 4\ -8\ +\sqrt{1+24}=\\2+9\cdot\ 4\ -8\ +\sqrt{25}=\\2+9\cdot\ 4\ -8\ +5=$ 

Applique l’ordre des opérations sur le reste de l’expression :

$2+\ 36-8\ +5=\\35$ 

Calculer avec des puissances et racines

Il existe deux cas où il est autorisé de rassembler deux expressions contenant des puissances : soit leur base coïncide, soit leur exposant coïncide. Si au moins une de ces deux conditions est respectée, on peut multiplier ou diviser les expressions selon les règles suivantes :

Même exposant

Si deux expressions ont le même exposant, on peut multiplier ou diviser leurs bases :

$3^2\cdot5^2={(3\cdot5)}^2={15}^2\\{10}^2\div2^2={(10\div2)}^2=5^2$

Similairement, on peut multiplier et diviser des expressions se trouvant sous la « même famille de racine » (par exemple deux racines cubiques, ou deux racines carrées) :

$\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{7\cdot9}=\sqrt[3]{63}\\\sqrt[3]{25}\div\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{25\div5}=\sqrt[3]{5}$

Attention : On ne peut pas mélanger des racines différentes (par exemple racine carrée et racine cubique). Il n’est pas possible de simplifier l’expression $\sqrt[2]{7}\cdot\sqrt[3]{9}$ .

Même base

Si deux expressions ont la même base, on peut les multiplier ou diviser entre elles.

multiplication	On additionne les exposants. $5^3\cdot5^6=5^{3+6}=5^9$
division	On soustrait les exposants. $4^7\div4^2=4^{7-2\ }=4^5$

Attention : Ces deux règles ne sont pas valables pour l’addition ou la soustraction même si les bases ou les exposant sont les mêmes :

$3^2+5^2\neq8^2\\\sqrt4+\sqrt8\neq\sqrt{12}$ 

Puissance de puissance

Si une puissance est elle-même élevée à une puissance, on multiplie les exposants :

${{(2}^3)}^4=2^{3\cdot4}=2^{12}$

Attention : Sans parenthèses, on suit l’ordre habituel des opérations. On calcule alors d’abord l’exposant.

${2^3}^4=2^{81}$