Identités remarquables 2e et 3e degré

Identités remarquables du deuxième degré

Binômes

Les identités remarquables binomiales du second degré servent de raccourci lors de la multiplication de deux parenthèses contenant des binômes (termes composés de deux éléments). Inversement, on s’en sert aussi pour factoriser des expressions.

Les parenthèses sont formées à partir de deux mêmes termes et :

$\left(a+b\right)\left(a+b\right)$

ou

$\left(a-b\right)\left(a-b\right)$

ou

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

	Formule	Exemple
1^ÈRE IDENTITÉ REMARQUABLE	$\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2$	$\left(x+5\right)^2=x^2+10x+25$
2^ÈME IDENTITÉ REMARQUABLE	$\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-2ab+b^2$	$\left(x-7\right)^2=x^2-14x+49$
3^ÈME IDENTITÉ REMARQUABLE	$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$	$\left(4-x\right)\left(4+x\right)=16-x^2$

Trinômes

L’identité remarquable trinomiale sert de raccourci lors de la multiplication de deux parenthèses contenant des trinômes (termes composés de trois éléments). Inversement, on s’en sert aussi pour factoriser des expressions.

Les parenthèses sont formées à partir de trois mêmes termes $a,b$ et $c$ :

$\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)$

	Formule	Exemple
IDENTITÉ REMARQUABLE TRINOMIALE	$\left(a+b+c\right)^2=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$	$\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$

Identités remarquables du troisième degré

On peut utiliser les formules suivantes pour les cubes de binômes :

Formule

Exemple

IDENTITÉS REMARQUABLES

DU TROISIÈME DEGRÉ

\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

\left(x+2\right)^3=x^3+6x^2+12x+8

\left(a-b\right)^3=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

\left(x-1\right)^3=x^3-3x^2+3x-1

Factorisation

La factorisation peut être vue comme l’inverse du développement. On peut donc utiliser les formules vues ci-dessus. L’idée est de transformer une somme en un produit de parenthèses.

Remarque : Les identités trinomiales ou du troisième degré sont difficiles à reconnaître. On utilise principalement les identités binomiales pour la factorisation.

MÉTHODE

1.

Repère les termes qui sont des carrés et prends leur racine pour déterminer les valeurs de $a$ et $b$ .

2.

Si tu trouves deux carrés et que l’un des deux est négatif, utilise la troisième identité remarquable.

Si les deux carrés sont positifs ( $a^2+b^2)$ , cherche un terme de la forme $2ab$ . Utilise la première identité si ce terme est positif et la deuxième s’il est négatif.

Remarque : Si les deux carrés sont négatifs, tu peux mettre en évidence $(-1)$ et changer tous les signes.

Exemple

Factorise l’expression suivante : $9x^2+4-12x$ 

Cherche les carrés :

$9x^2=(3{x)}^2$ et $4=2^2$ 

On a $a=3x$ et $b=2$ .

Cherche un terme de la forme $2ab=2\cdot3x\cdot2=12x$ .

Ce terme est négatif  Deuxième identité remarquable :

$9x^2+4-12x={(3x-2)}^2$ 