Sinus et Cosinus : relations et arcs

Côté adjacent, côté opposé et hypoténuse

Définition

Dans un triangle rectangle avec un angle aigu $\alpha$ , les côtés ont les noms suivants :

Côté adjacent à $\mathbf{\alpha}$	Cathète adjacente à l’angle $\alpha$
Côté opposé à $\mathbf{\alpha}$	Cathète opposée à l’angle $\alpha$
Hypoténuse	Côté à l’opposé de l’angle droit, plus long côté du triangle

Mathématiques; Trigonométrie; 1ère Collège; Sinus et Cosinus : relations et arcs

Remarque 1 : Les cathètes sont les côtés du triangle qui sont adjacents à l’angle droit.

Remarque 2 : N’oublie pas que dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore s’applique toujours :

$Cath\grave{e}te^2+Cath\grave{e}te^2=Hypot\acute{e}nuse^2$

Remarque 3 : Dans un triangle rectangle, la somme des angles non droits est égale à 90°.

Sinus et cosinus

Définition

Le sinus ( $sin$ ) et le cosinus ( $cos$ ) décrivent les relations entre les côtés et les angles d’un triangle rectangle.

À partir de deux côtés ou d’un côté et d’un angle, on peut calculer tous les angles et côtés manquants d’un triangle rectangle.

Sinus

Le sinus d’un angle donne le rapport entre la cathète opposée et l’hypoténuse :

$sin{\left(\alpha\right)}=\frac{Cathète\ opposee\ à\ α}{Hypotenuse}$

Arc sinus

L’arc sinus permet de calculer l’angle $\alpha$ si on connaît la longueur de la cathète opposée et de l’hypoténuse. La fonction $\ {sin}^{-1}$ (aussi notée $arcsin$ ) est la fonction inverse de $\ sin.$

$\alpha=sin-1\begin{pmatrix}\frac{Cathète\ opposee\ à\ α}{Hypotenuse}\end{pmatrix}$

Cosinus

Le cosinus d’un angle donne le rapport entre la cathète adjacente et l’hypoténuse :

$cos(\alpha)=\frac{Cathète\ adjacente\ à\ α}{Hypotenuse}$

Arc cosinus

L’arc cosinus permet de calculer l’angle $\alpha$ si on connaît la longueur de la cathète adjacente et de l’hypoténuse. La fonction $\ {cos}^{-1}$ (aussi notée ) est la fonction inverse de $cos$ .

$\alpha=cos-1\begin{pmatrix}\frac{Cathète\ adjacente\ à\ α}{Hypotenuse}\end{pmatrix}$

Exemple – Calculer l’angle $\alpha$ et l’angle $\gamma$ .

Mathématiques; Trigonométrie; 1ère Collège; Sinus et Cosinus : relations et arcs

Hypoténuse avec Pythagore :

$\sqrt{3^2+4^2}\ cm=5cm$ 

Angle $\alpha$ avec le sinus :

$sin{\left(\alpha\right)}=\frac{Opp}{Hyp}=\frac{3}{5}$ 

Arc sinus :

$\alpha=sin^{-1}\begin{pmatrix}\frac{3}{5}\end{pmatrix}=36.9°$ 

Angle $\gamma$ avec le cosinus :

$cos{\left(\gamma\right)}=\frac{Adj}{Hyp}=\frac{3}{5}$ 

Arc cosinus :

$\gamma=cos^{-1}\begin{pmatrix}\frac{3}{5}\end{pmatrix}=53.1°$

Remarque : on aurait également pu procéder différemment en utilisant la somme des angles de 180°.

Relations entre le sinus et le cosinus

Les formules suivantes aident à simplifier les termes et à résoudre les équations.

Formule fondamentale (identité remarquable)

${sin(x)}^2+{cos(x)}^2=1$

Décalage de l’angle

$sin{\left(x\right)}=cos(90°-x)\\cos{\left(x\right)}=sin(90°-x)$

Valeurs du sinus et du cosinus

Il est parfois pratique de connaître les valeurs du sinus et du cosinus pour certains angles.

Mathématiques; Trigonométrie; 1ère Collège; Sinus et Cosinus : relations et arcs