Factorisation : mise en évidence et approche à deux termes

Définition

La factorisation est la séparation d’une expression en facteurs :

• Nombres multipliés
  
• Variables
  
• Parenthèses
  

Exemple

$$\underbrace{\underbrace{3}\cdot\underbrace{x}\cdot\underbrace{\left(3x+2\right)}\cdot\underbrace{\left(x-1\right)}\cdot\underbrace{\left(1+x\right)}}_{Facteurs}$$​​

Méthode pour la factorisation

Vérifie dans l’ordre si on peut transformer l’expression donnée avec les étapes suivantes :

1. Mets en évidence les nombres et variables des parenthèses.
2. Applique les identités remarquables.
3. Applique l’approche à deux termes.

​

Mise en évidence

Si possible, mets en évidence un diviseur commun et/ou une variable commune de l’expression (ou d’une partie de l’expression) à factoriser.

Remarque : Quand on « met un terme en évidence », on divise l’expression par ce terme, on l’écrit en premier puis on multiplie avec le résultat de la division.

Exemple

​$$9x^2+6x$$​​

Commun : diviseur $$3$$​ et variable $$x$$​

Mettre en évidence 3 et $$x$$​ :

$$=3x\cdot\left(3x+2\right)$$​​

Identités remarquables (voir résumé : Identités remarquables)

CONDITION

Le terme donné a la forme développée d’une identité remarquable :

• $$1^{ère}\ IR\ ∶\ a2+2ab+b2=(a+b)2$$​​
  
• $$2^{ème}\ IR\ ∶\ a2-2ab+b2=(a-b)2$$​​
  
• $$3^{ème}\ IR\ ∶\ a2-b2=(a+b)(a-b)$$​​
  

MÉTHODE

Exemple

$$x^2+10x+25$$​​

Forme de la première identité remarquable

Valeurs :

$$a=x\\b=5$$​​

Forme factorisée :

$$=\left(x+5\right)^2$$​​

​

Approche à deux termes

CONDITION

L’expression donnée a trois termes :

$$x^2+\left(a+b\right)x+ab$$​​

On peut trouver deux nombres :

• Qui donnent le coefficient de $$x$$​ quand on les additionne.
  
• Qui donnent le terme sans $$x$$​ quand on les multiplie.

Conseils : Si le terme sans $$x$$​ est négatif, $$a$$​ ou $$b$$​ est négatif.

MÉTHODE

Exemple

$$x^2+6x+8$$​​

Paire de nombres correspondante :

$$a=2\\b=4$$​​

Forme factorisée :

$$=\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$​​

Simplifier une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont sous une forme factorisée, on peut la simplifier en enlevant les facteurs se trouvant à la fois en haut et en bas de la barre de fraction.

MÉTHODE

Exemple

Simplifie la fraction suivante :

$$\frac{x^2+6x+8}{{2x}^2+8x+8}$$​​

Factorise le numérateur et le dénominateur :

$$\frac{\left(x+2\right)\left(x+4\right)}{2\left(x+2\right)^2}$$​​

Facteur en commun : $$\left(x+2\right)$$​

Simplification :

$$\frac{\left(x+4\right)}{2\left(x+2\right)}=\frac{x+4}{2x+4}$$​​