Fonctions quadratiques : problèmes

Contexte

On s’intéresse à des problèmes qui peuvent être résolus à l’aide de fonctions quadratiques. 

Certaines grandeurs du problème décrivent une fonction quadratique.

Exemples

Dans certains exercices la fonction quadratique est donnée, dans d’autres, on doit la déterminer. 

La solution du problème peut être donnée par un point particulier sur la fonction.

Méthode - fonction donnée

Exemple

La fonction $$f(x)=-0.005x^2+0.6x-10$$​ décrit un arc de pont. L’axe des $$x$$​ correspond au parcours sous le pont. Les valeurs de la fonction donnent la hauteur en un point $$x$$​. Les valeurs de $$x$$​ et $$y$$​ sont des distances en mètres.

Détermine :

a) La longueur du pont (au sol).

b) Le point où le pont atteint sa hauteur maximale et la hauteur des piles du pont à cet endroit. (Les piles sont les appuis verticaux qui soutiennent la structure du pont.)

Schéma :

L’axe des $$x$$​ correspond à la distance parcourue au sol.

L’axe des $$y$$​ est perpendiculaire à l’axe des $$x$$​ et correspond à la hauteur au-dessus du sol.

a) Longueur du pont = Distance entre les zéros de la fonction :

Zéros : 

$$0=-0.005x^2+0.6x-10$$​​

$$x_1=\frac{-0.6+\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=20$$​​

$$x_2=\frac{-0.6-\sqrt{{0.6}^2-4\cdot(-0.005)\cdot(-10)}}{2\cdot(-0.005)}=100$$​​

On prend la différence : $$100-20=80$$​. Le pont mesure donc 80m de long.

b) Hauteur maximale = Valeur $$y$$​ du sommet :

Déterminer le sommet : La valeur $$x_s$$​ du sommet est à distance égale des zéros :

$$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20+100}{2}=60$$​​

Détermine la valeur $$y_s$$​ : 

$$f\left(60\right)=-0.005\cdot{60}^2+0.6\cdot60-10=8$$​​

Le sommet est $$S(60;8)$$​.

Le point le plus haut est à 60m dans notre système de coordonnées (40m après le début du pont).

La pile du pont au point le plus haut mesure 8m de haut.