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Systèmes d’équations à trois inconnues

Résoudre un système d’équations à trois inconnues

Le but est de résoudre un système d’équations à trois inconnues :

Mathématiques; Systèmes d'équations; 1ère Collège; Systèmes d'équations à trois inconnues

On détermine les valeurs des variables qui satisfont les trois équations.

Méthode par substitution

1.

Résous une des équations en une variable.

2.

Substitue dans les autres équations : remplace la variable par l’expression obtenue.

On obtient deux équations à deux inconnues.

3.

Résous une des équations obtenues en une variable.

4.

Dans l’autre équation obtenue, remplace la variable par le nouveau terme.

5.

Résous l’équation obtenue.

6.

Calcule les valeurs des autres variables en introduisant les résultats obtenus.

Exemple

Mathématiques; Systèmes d'équations; 1ère Collège; Systèmes d'équations à trois inconnues

Résous la deuxième équation en xxx :

x=10−5z+yx=10-5z+yx=10−5z+y​​

Substitue xxx​ dans la première équation :


2(10−5z+y)+3y+2z=22(10-5z+y)+3y+2z=22(10−5z+y)+3y+2z=2​​

5y−8z=−185y-8z=-185y−8z=−18​​

Substitue xxx dans la troisième équation :

​4(10−5z+y)=5−2y+3z4(10-5z+y)=5-2y+3z4(10−5z+y)=5−2y+3z​​

6y−23z=−356y-23z=-356y−23z=−35​​

Résous la première équation obtenue en y yy :

​y=−185+8z5y=-\frac{18}{5}+ \frac{8z}{5}y=−518​+58z​​​

Introduis dans la deuxième équation obtenue, et résous :

6(−185+8z5)−23z=−356(\frac{-18}{5}+\frac{8z}{5}) -23z=-356(5−18​+58z​)−23z=−35

​​z=1‾\underline{z=1}z=1​​

Substitue la valeur de zz z :

y=−2‾\underline{y=-2}y=−2​​​

x=3‾\underline{x=3}x=3​​​

Solutions :  

S= S=S= {3;−2;1}\{3 ; -2 ; 1\}{3;−2;1}​​


Méthode par combinaison linéaire

Méthode

1.

Transforme les équations :

·       Toutes les variables d’un côté

·       Toutes les constantes de l’autre côté

Conseil : Aligne les mêmes variables les unes sous les autres.

2.

Ajuste les coefficients d’une variable :

Multiplie les équations pour que le coefficient d’une des variables soit le même dans deux équations.

3.

Soustrais une équation à une autre :

La variable choisie à l’étape 2 a été éliminée de l’équation résultante.

4.

Répète les étapes 2 et 3 pour les deux équations restantes.

On obtient un système de deux équations à deux inconnues.

5.

Résous ce nouveau système d’équations.

6.

Introduis les valeurs trouvées dans une des équations de départ pour calculer la valeur de la dernière variable.


Exemple

Mathématiques; Systèmes d'équations; 1ère Collège; Systèmes d'équations à trois inconnues

Transforme :

2x+3y+2z=22x + 3y + 2z = 22x+3y+2z=2

x−y+5z=10x - y + 5z = 10x−y+5z=10​​

4x+2y−3z=54x + 2y - 3z = 54x+2y−3z=5​​

Ajuste le coefficient de xxx :

2x+3y+2z=2x−y+5z=10∣∙22x+3y+2z=22x−2y+10z=202x + 3y + 2z = 2\\ x - y + 5z = 10 |∙2\\ 2x + 3y + 2z = 2\\ 2x - 2y + 10z = 20\\ 2x+3y+2z=2x−y+5z=10∣∙22x+3y+2z=22x−2y+10z=20​​

Première équation moins deuxième équation :

0+5y−8z=−180 + 5y - 8z = -180+5y−8z=−18​​

Répète : ajuste le coefficient de xxx :

x−y+5z=10∣∙44x+2y−3z=54x−4y+20z=404x+2y−3z=5x - y + 5z = 10 |∙4\\4x + 2y - 3z = 5 \\4x - 4y + 20z = 40\\4x + 2y - 3z = 5x−y+5z=10∣∙44x+2y−3z=54x−4y+20z=404x+2y−3z=5​​

Deuxième équation moins troisième équation :

0−6y+23z=350 - 6y + 23z = 350−6y+23z=35​​

Résous le système d’équations et calcule les valeurs des variables. 

Mathématiques; Systèmes d'équations; 1ère Collège; Systèmes d'équations à trois inconnues

Solutions :

S={3;−2;1}S=\{3 ; -2 ; 1\}S={3;−2;1}​

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Systèmes d'équations à trois inconnues

Unité 1

Systèmes d'équations à trois inconnues

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment résoudre un système d'équation à plusieurs inconnues par combinaison linéaire ?

Dans cette méthode, tu vas en multipliant une ou l'autre équation faire en sorte de pouvoir faire disparaître une inconnue lorsque tu soustrais ou additionne ces deux équations. Tu peux le faire plusieurs fois jusqu'à n'avoir plus qu'une inconnue.

Comment résoudre un système d'équation à trois inconnues ?

Pour résoudre un système à trois inconnues, 3 équation différentes sont nécessaires. Tu peux ensuite combiner ces équations en les substituants, afin de n'avoir plus que deux inconnues, puis une. Tu peux également les combiner linéairement.

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