Systèmes d’équations à trois inconnues

Résoudre un système d’équations à trois inconnues

Le but est de résoudre un système d’équations à trois inconnues :

On détermine les valeurs des variables qui satisfont les trois équations.

Méthode par substitution

Exemple

Résous la deuxième équation en $$x$$ :

$$x=10-5z+y$$​​

Substitue $$x$$​ dans la première équation :

$$2(10-5z+y)+3y+2z=2$$​​

$$5y-8z=-18$$​​

Substitue $$x$$ dans la troisième équation :

​$$4(10-5z+y)=5-2y+3z$$​​

$$6y-23z=-35$$​​

Résous la première équation obtenue en $$y$$ :

​$$y=-\frac{18}{5}+ \frac{8z}{5}$$​​

Introduis dans la deuxième équation obtenue, et résous :

$$6(\frac{-18}{5}+\frac{8z}{5}) -23z=-35$$

​​$$\underline{z=1}$$​

Substitue la valeur de $$z$$ :

$$\underline{y=-2}$$​​

$$\underline{x=3}$$​​

Solutions :  

$$S=$$ $$\{3 ; -2 ; 1\}$$​​

Méthode par combinaison linéaire

Méthode

Exemple

Transforme :

$$2x + 3y + 2z = 2$$

$$x - y + 5z = 10$$​​

$$4x + 2y - 3z = 5$$​​

Ajuste le coefficient de $$x$$ :

$$2x + 3y + 2z = 2\\ x - y + 5z = 10 |∙2\\ 2x + 3y + 2z = 2\\ 2x - 2y + 10z = 20\\$$​​

Première équation moins deuxième équation :

$$0 + 5y - 8z = -18$$​​

Répète : ajuste le coefficient de $$x$$ :

$$x - y + 5z = 10 |∙4\\4x + 2y - 3z = 5 \\4x - 4y + 20z = 40\\4x + 2y - 3z = 5$$​​

Deuxième équation moins troisième équation :

$$0 - 6y + 23z = 35$$​​

Résous le système d’équations et calcule les valeurs des variables. 

Solutions :

$$S=\{3 ; -2 ; 1\}$$​