Équations avec racine

Le plus important en quelques mots

On cherche à résoudre une équation avec une racine contenant l’inconnue.

Exemple : $$\sqrt{55-3x}-x=5$$​​

On doit d’abord déterminer le « domaine de définition » de l’inconnue. Puis, on détermine la solution de l’équation.

Déterminer le domaine de définition

Le domaine de définition $$\mathbb{D}$$​ de l’inconnue est le domaine où l’expression sous la racine est positive.

MÉTHODE

Résoudre l’équation

Les équations avec racine nécessitent une méthode spéciale :

MÉTHODE

Conseil : S’il y a plusieurs racines on doit généralement commencer par isoler une racine, suivre l’étape 2, puis éliminer les racines restantes une à une de la même façon.

Exemple

$$\sqrt{55-3x}-x=5$$​​

Domaine de définition de $$x$$​ : condition $$55-3x\geq0$$​

$$x\le\frac{55}{3}=18.\bar{3}\\\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\le\frac{55}{3}}$$​​

Isole la racine :

$$\sqrt{55-3x}=5+x$$​​

Condition supplémentaire :

$$5+x\geq0$$​​

Élève les côtés au carré :

$$55-3x=\left(5+x\right)^2\\55-3x=x^2+10x+25$$​​

Résous l’équation quadratique comme d’habitude :

$$0=x^2+13x-30\\0=\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$​​

Solutions potentielles : $$x=2$$​ et $$x=-15$$​

Les deux valeurs appartiennent au domaine de définition mais $$x=-15$$​ ne respecte pas la condition $$5+x\geq0$$​. La seule solution est donc $$x=2$$​.

Equation paramétrique avec racine

Tout comme dans le cas des équations linéaires, les équations avec racine peuvent contenir des paramètres. Les variables recherchées sont le plus souvent désignées par $$x,\ y,\ z$$​ et les paramètres par d’autre lettre de l’alphabet : $$a,\ b,\ c$$​ ou encore $$s,t$$​.

MÉTHODE

Exemple

Résous l’équation et exprime $$x$$​ en fonction des paramètres $$a,b$$​.