Équations avec racine

Le plus important en quelques mots

On cherche à résoudre une équation avec une racine contenant l’inconnue.

Exemple : $\sqrt{55-3x}-x=5$

On doit d’abord déterminer le « domaine de définition » de l’inconnue. Puis, on détermine la solution de l’équation.

Déterminer le domaine de définition

Le domaine de définition $\mathbb{D}$ de l’inconnue est le domaine où l’expression sous la racine est positive.

MÉTHODE

1.

Détermine le domaine de définition de $x$ pour lequel les termes sous la racine sont supérieurs ou égaux à zéro.

2.

Note le domaine de définition en choisissant ce qui convient :

Soit $\mathbb{D}=R≥ borne\ inférieure\ du\ domaine$

Soit $\mathbb{D}=R≤ borne\ supérieure\ du\ domaine$

Résoudre l’équation

Les équations avec racine nécessitent une méthode spéciale :

MÉTHODE

1.	Isole la racine contenant l’inconnue $x$ à gauche de l’équation.
2.	Le côté ne contenant pas la racine doit être plus grand que $0$ .
3.	Élève les deux côtés au carré. Remarque : Note que toute l’expression à droite est élevée au carré ; pas les termes individuels. On a souvent besoin des identités remarquables.
4.	Résous l’équation comme d’habitude.
5.	Compare les solutions potentielles avec le domaine de définition et la condition de la deuxième étape. Si aucune solution potentielle n’appartient au domaine de définition, l’équation n’a pas de solution.

Conseil : S’il y a plusieurs racines on doit généralement commencer par isoler une racine, suivre l’étape 2, puis éliminer les racines restantes une à une de la même façon.

Exemple

$\sqrt{55-3x}-x=5$

Domaine de définition de $x$ : condition $55-3x\geq0$ 

$x\le\frac{55}{3}=18.\bar{3}\\\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\le\frac{55}{3}}$ 

Isole la racine :

$\sqrt{55-3x}=5+x$ 

Condition supplémentaire :

$5+x\geq0$ 

Élève les côtés au carré :

$55-3x=\left(5+x\right)^2\\55-3x=x^2+10x+25$ 

Résous l’équation quadratique comme d’habitude :

$0=x^2+13x-30\\0=\left(x-2\right)\left(x+15\right)$ 

Solutions potentielles : $x=2$ et $x=-15$ 

Les deux valeurs appartiennent au domaine de définition mais $x=-15$ ne respecte pas la condition $5+x\geq0$ . La seule solution est donc $x=2$ .

Equation paramétrique avec racine

Tout comme dans le cas des équations linéaires, les équations avec racine peuvent contenir des paramètres. Les variables recherchées sont le plus souvent désignées par $x,\ y,\ z$ et les paramètres par d’autre lettre de l’alphabet : $a,\ b,\ c$ ou encore $s,t$ .

MÉTHODE

1.	Supprime les parenthèses en développant l’expression
2.	Simplifie les termes des deux côtés.
3.	Isole la racine contenant l’inconnue $x$ à gauche de l’équation.
4.	Élève les deux côtés au carré.
5.	Résous l’équation comme d’habitude.

Exemple

Résous l’équation et exprime $x$ en fonction des paramètres $a,b$ .

Développe l’expression :	$\sqrt{5(x+a)}+2=x+5\\\sqrt{5x+5a}+2=x+5$
Isole la racine contenant l’inconnue $x$ :	$\sqrt{5x+5a}=x+5-2=x+3$
Élève les deux côtés au carré :	$5x+5a=\left(x+3\right)^2=x^2+6x+9$
Résous l’équation avec la méthode du discriminant :	$0=x^2+6x-5x-5a+9=x^2+x-5a+9\\\mathrm{\Delta}=1^2-4\cdot1\cdot(-5a+9)=\ 20a-35\\x=\frac{-1\pm\sqrt{20a-35}}{2}$