On cherche à résoudre une équation avec une racine contenant l’inconnue.
Exemple : 55−3x−x=5
On doit d’abord déterminer le « domaine de définition » de l’inconnue. Puis, on détermine la solution de l’équation.
Déterminer le domaine de définition
Le domaine de définitionDde l’inconnueest le domaine où l’expression sous la racine est positive.
MÉTHODE
1.
Détermine le domaine de définition dexpour lequel les termes sous la racine sont supérieurs ou égaux à zéro.
2.
Note le domaine de définition en choisissant ce qui convient :
SoitD=R≥borneinfeˊrieuredudomaine
SoitD=R≤bornesupeˊrieuredudomaine
Résoudre l’équation
Les équations avec racine nécessitent une méthode spéciale :
MÉTHODE
1.
Isole la racine contenant l’inconnuexà gauche de l’équation.
2.
Le côté ne contenant pas la racine doit être plus grand que0.
3.
Élève les deux côtés au carré.
Remarque : Note que toute l’expression à droite est élevée au carré; pas les termes individuels. On a souvent besoin des identités remarquables.
4.
Résous l’équation comme d’habitude.
5.
Compare les solutions potentielles avec le domaine de définition et la condition de la deuxième étape. Si aucune solution potentielle n’appartient au domaine de définition, l’équation n’a pas de solution.
Conseil : S’il y a plusieurs racines on doit généralement commencer par isoler une racine, suivre l’étape 2, puis éliminer les racines restantes une à une de la même façon.
Exemple
55−3x−x=5
Domaine de définition dex: condition55−3x≥0
x≤355=18.3ˉD=R≤355
Isole la racine :
55−3x=5+x
Condition supplémentaire:
5+x≥0
Élève les côtés au carré :
55−3x=(5+x)255−3x=x2+10x+25
Résous l’équation quadratique comme d’habitude :
0=x2+13x−300=(x−2)(x+15)
Solutions potentielles :x=2etx=−15
Les deux valeurs appartiennent au domaine de définition maisx=−15ne respecte pas la condition5+x≥0. La seule solution est doncx=2.
Equation paramétrique avec racine
Tout comme dans le cas des équations linéaires, les équations avec racine peuvent contenir des paramètres. Les variables recherchées sont le plus souvent désignées parx,y,zet les paramètres par d’autre lettre de l’alphabet:a,b,cou encores,t.
MÉTHODE
1.
Supprime les parenthèses en développant l’expression
2.
Simplifie les termes des deux côtés.
3.
Isole la racine contenant l’inconnuexà gauche de l’équation.
4.
Élève les deux côtés au carré.
5.
Résous l’équation comme d’habitude.
Exemple
Résous l’équation et exprimexen fonction des paramètresa,b.
Développe l’expression:
5(x+a)+2=x+55x+5a+2=x+5
Isole la racine contenant l’inconnuex:
5x+5a=x+5−2=x+3
Élève les deux côtés au carré:
5x+5a=(x+3)2=x2+6x+9
Résous l’équation avec la méthode du discriminant :
Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Unité 1
Équations avec racine
Test final
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Comment résoudre une équation une racine ?
1. Note le domaine de définition du terme sous la racine (terme sous la racine ≥ 0 --> condition 1)
2. Isole la racine d'un côté du signe égal, attention: terme de l'autre côté du signe égal ≥ 0 --> condition 2
3. Elève les deux côtés au carré, attention: utilise les identités remarquables
3. Résous l'équation quadratique
4. Compare les solutions potentielles avec les 2 conditions.
Quel est le domaine de définition d'une fraction ?
Le terme sous la fraction ne peut pas être plus petit que 0. Par exemple pour le calcul suivant √x+5 on aura la condition x+5 ≥ 0, donc x ≥ -5. De plus, le résultat d'une fraction est toujours plus grand ou égal à zéro. Par exemple pour √x = x+2 on a la condition x ≥ 0 pour la racine et la condition x+2 ≥ 0, donc x ≥ 2.
