Fonctions trigonométriques : cosinus, sinus et tangente

Définition

Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques. Elles se répètent à intervalles réguliers le long de l'axe des $$x$$​. Dans une fonction trigonométrique, la variable est dans l’argument d’une fonction sinus, cosinus ou tangente. (On ne considère ici que ces cas.)

Fonction sinus

Formule

$$f\left(x\right)=sin{\left(x\right)}$$​​

Domaine de définition $$\mathbb{D}$$​

La variable $$x$$​ peut prendre toutes les valeurs réelles :

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Image de la fonction

Les valeurs $$y$$​ de la fonction sont toujours entre $$-1$$​ et $$1$$​.

Propriétés

• $$sin{\left(x\right)}$$​ est symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire).
  
• $$sin{\left(x\right)}$$​ se répète avec la période $$2\pi$$​ : $$sin(x+2\pi)=sin(x)$$​.
  

ZÉROS

• $$sin{\left(x\right)}$$​ intersecte l’axe des $$x$$​ aux points : …, $$(-2\pi;0)$$​, $$(-\pi;0)$$​, $$(0;0)$$​, $$(\pi;0)$$​, $$(2\pi;0)$$​, …
  
• Les zéros apparaissent tous les $$2\pi$$​ : ​ pour $$\ x=k\cdot\pi$$​ avec $$k\in\mathbb{Z}$$​ : $$sin{\left(x\right)}=0$$​.
  

MAXIMA

• $$sin{\left(x\right)}$$​ atteint ses maxima (points les plus élevés) en : … $$(-\frac{3\pi}{2};1)$$​, $$(\frac{\pi}{2};1)$$​, $$(\frac{5\pi}{2};1)$$​, …
  
• Les maxima apparaissent tous les $$2\pi$$​ : pour $$x=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi$$​ avec $$k\in\mathbb{Z}$$​ : $$sin{\left(x\right)}=1$$​.
  

MINIMA

• $$sin{\left(x\right)}$$​ atteint ses minima (points les plus bas) en : … $$(-\frac{\pi}{2};-1)$$​, $$(\frac{3\pi}{2};-1)$$​, $$(\frac{7\pi}{2};-1)$$​, …
  
• Les minima apparaissent tous les $$2\pi$$​ : pour $$x=\frac{3}{2}\pi+k\cdot2\pi$$​ avec $$k\in\mathbb{Z}$$​ : $$sin{\left(x\right)}=-1$$​.
  

​

Graphe

$$y=sin(x)$$​​

Tableau de valeurs pour $$y=sin(x)$$​ :

Fonction cosinus

Formule

$$f\left(x\right)=cos{\left(x\right)}$$​​

Domaine de définition $$\mathbb{D}$$​

La variable $$x$$​ peut prendre toutes les valeurs réelles :

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Image de la fonction

Les valeurs de la fonction sont toujours entre $$-1$$​ et $$1$$​.

Propriétés

• $$cos{\left(x\right)}$$​ est axisymétrique par rapport à l’axe des $$y$$​ (fonction paire).
  
• $$cos{\left(x\right)}$$​ se répète avec la période $$2\pi$$​ : $$cos{\left(x+2\pi\right)}=cos{\left(x\right)}$$​.
  

ZÉROS

• $$cos{\left(x\right)}$$​ intersecte l’axe des  aux points : …, $$(-\frac{3\pi}{2};0)$$​, $$(-\frac{\pi}{2};0)$$​, $$(\frac{\pi}{2};0)$$​, $$(\frac{3\pi}{2};0)$$​, …
  
• Les zéros apparaissent tous les $$\pi$$​ : pour $$x=k\cdot2\pi$$​ avec $$k\in\mathbb{Z}\$$​ : $$cos{\left(x\right)}=1$$​.
  

MAXIMA

• $$cos{\left(x\right)}$$​ atteint ses maxima (points les plus élevés) en : … $$(-2\pi;1)$$​, $$(0;1)$$​, $$(2\pi;1)$$​, …
  
• Les maxima apparaissent tous les $$2\pi$$​ : pour $$x=k\cdot2\pi$$​ avec $$k\in\mathbb{Z}\$$​: $$cos{\left(x\right)}=1$$​.
  

MINIMA

• $$cos{\left(x\right)}$$​ atteint ses minima (points les plus bas) en : … $$(-\pi;-1)$$​, $$(\pi;-1)$$​, $$(3\pi;-1)$$​,  …
  
• Les minima apparaissent tous les $$2\pi$$​ : pour $$x=\pi+k\cdot2\pi$$​ avec $$k\in\mathbb{Z}$$​ : $$cos{\left(x\right)}=-1$$​.
  

​

Graphe

$$y=cos(x)$$​​

Tableau de valeurs pour $$y=cos(x)$$​ :

Fonction tangente

Formule

$$tan{\left(x\right)}=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}$$​​

Domaine de définition $$\mathbb{D}$$​

La valeur $$x$$​ peut prendre toutes les valeurs réelles sauf $$\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\ (k\in\mathbb{Z})$$​ :

$$\mathbb{D}=\mathbb{R} \{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\}$$​​

Remarque : On exclut les valeurs où le dénominateur cos(x)cos(x) est zéro.

Image de la fonction 

Toutes les valeurs réelles peuvent être obtenues

Propriétés

• $$tan{\left(x\right)}$$​ est symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire).
  
• $$tan{\left(x\right)}$$​ se répète avec la période $$\pi$$​ : $$tan{\left(x+\pi\right)}=\tan{\left(x\right)}$$​.
  

ZÉROS

• $$tan{\left(x\right)}$$​ intersecte l’axe des $$x$$​ aux points : …, $$(-\pi;0)$$​, $$(0;0)$$​, $$(\pi;0)$$​, …
  
• Les zéros apparaissent tous les $$\pi$$​ : pour $$\ x=k\cdot\pi$$​ avec $$k\in\mathbb{Z}$$​ : $$tan{\left(x\right)}=0$$​.
  

ASYMPTOTES

• $$tan{\left(x\right)}$$​ a des asymptotes verticales tous les $$\pi$$​ : $$\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$$​.
  

Graphe

$$y=tan(x)$$​​

Tableau de valeurs pour $$y=tan(x)$$​ :