Fonctions trigonométriques : cosinus, sinus et tangente

Définition

Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques. Elles se répètent à intervalles réguliers le long de l'axe des $x$ . Dans une fonction trigonométrique, la variable est dans l’argument d’une fonction sinus, cosinus ou tangente. (On ne considère ici que ces cas.)

Fonction sinus

Formule

$f\left(x\right)=sin{\left(x\right)}$

Domaine de définition $\mathbb{D}$

La variable $x$ peut prendre toutes les valeurs réelles :

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Image de la fonction

Les valeurs $y$ de la fonction sont toujours entre $-1$ et $1$ .

Propriétés

$sin{\left(x\right)}$ est symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire).
$sin{\left(x\right)}$ se répète avec la période $2\pi$ : $sin(x+2\pi)=sin(x)$ .

ZÉROS

$sin{\left(x\right)}$ intersecte l’axe des $x$ aux points : …, $(-2\pi;0)$ , $(-\pi;0)$ , $(0;0)$ , $(\pi;0)$ , $(2\pi;0)$ , …
Les zéros apparaissent tous les $2\pi$ : pour $\ x=k\cdot\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $sin{\left(x\right)}=0$ .

MAXIMA

$sin{\left(x\right)}$ atteint ses maxima (points les plus élevés) en : … $(-\frac{3\pi}{2};1)$ , $(\frac{\pi}{2};1)$ , $(\frac{5\pi}{2};1)$ , …
Les maxima apparaissent tous les $2\pi$ : pour $x=\frac{\pi}{2}+k\cdot2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $sin{\left(x\right)}=1$ .

MINIMA

$sin{\left(x\right)}$ atteint ses minima (points les plus bas) en : … $(-\frac{\pi}{2};-1)$ , $(\frac{3\pi}{2};-1)$ , $(\frac{7\pi}{2};-1)$ , …
Les minima apparaissent tous les $2\pi$ : pour $x=\frac{3}{2}\pi+k\cdot2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $sin{\left(x\right)}=-1$ .

Graphe

$y=sin(x)$

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Tableau de valeurs pour $y=sin(x)$ :

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Fonction cosinus

Formule

$f\left(x\right)=cos{\left(x\right)}$

Domaine de définition $\mathbb{D}$

La variable $x$ peut prendre toutes les valeurs réelles :

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Image de la fonction

Les valeurs de la fonction sont toujours entre $-1$ et $1$ .

Propriétés

$cos{\left(x\right)}$ est axisymétrique par rapport à l’axe des $y$ (fonction paire).
$cos{\left(x\right)}$ se répète avec la période $2\pi$ : $cos{\left(x+2\pi\right)}=cos{\left(x\right)}$ .

ZÉROS

$cos{\left(x\right)}$ intersecte l’axe des aux points : …, $(-\frac{3\pi}{2};0)$ , $(-\frac{\pi}{2};0)$ , $(\frac{\pi}{2};0)$ , $(\frac{3\pi}{2};0)$ , …
Les zéros apparaissent tous les $\pi$ : pour $x=k\cdot2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}\$ : $cos{\left(x\right)}=1$ .

MAXIMA

$cos{\left(x\right)}$ atteint ses maxima (points les plus élevés) en : … $(-2\pi;1)$ , $(0;1)$ , $(2\pi;1)$ , …
Les maxima apparaissent tous les $2\pi$ : pour $x=k\cdot2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}\$ : $cos{\left(x\right)}=1$ .

MINIMA

$cos{\left(x\right)}$ atteint ses minima (points les plus bas) en : … $(-\pi;-1)$ , $(\pi;-1)$ , $(3\pi;-1)$ , …
Les minima apparaissent tous les $2\pi$ : pour $x=\pi+k\cdot2\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $cos{\left(x\right)}=-1$ .

Graphe

$y=cos(x)$

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Tableau de valeurs pour $y=cos(x)$ :

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Fonction tangente

Formule

$tan{\left(x\right)}=\frac{sin{\left(x\right)}}{cos{\left(x\right)}}$

Domaine de définition $\mathbb{D}$

La valeur $x$ peut prendre toutes les valeurs réelles sauf $\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\ (k\in\mathbb{Z})$ :

$\mathbb{D}=\mathbb{R} \{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\}$

Remarque : On exclut les valeurs où le dénominateur cos(x) est zéro.

Image de la fonction

Toutes les valeurs réelles peuvent être obtenues

Propriétés

$tan{\left(x\right)}$ est symétrique par rapport à l’origine (fonction impaire).
$tan{\left(x\right)}$ se répète avec la période $\pi$ : $tan{\left(x+\pi\right)}=\tan{\left(x\right)}$ .

ZÉROS

$tan{\left(x\right)}$ intersecte l’axe des $x$ aux points : …, $(-\pi;0)$ , $(0;0)$ , $(\pi;0)$ , …
Les zéros apparaissent tous les $\pi$ : pour $\ x=k\cdot\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $tan{\left(x\right)}=0$ .

ASYMPTOTES

$tan{\left(x\right)}$ a des asymptotes verticales tous les $\pi$ : $\ x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi$ .

Graphe

$y=tan(x)$

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Tableau de valeurs pour $y=tan(x)$ :

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