Équations avec fractions - avec variable au dénominateur
Le plus important en quelques mots
Si l’inconnue se trouve aussi au dénominateur d’une fraction dans l’équation, on doit d’abord déterminer son « domaine de définition ». Puis, on détermine le résultat de l’équation.
Déterminer le domaine de définition
Le domaine de définition (D) indique quelles valeurs de x peuvent être introduites dans l’équation.
Dans une fraction, le dénominateur ne peut jamais être zéro. Il faut donc exclure les valeurs de x pour lesquelles un dénominateur de l’équation aurait la valeur zéro.
D=R{′Valeurs x non autoris acuteˊes ′}
MÉTHODE
| 1. | Trouve les zéros des expressions en x au dénominateur : Écris les équations : expression au deˊnominateur=0. |
| 2. | Résous les équations en x une par une. Remarque : Tous les résultats sont des « valeurs de x non autorisées ». |
| 3. | Note le domaine de définition : D=R/{…}. Toutes les « valeurs de x non autorisées » sont écrites dans la parenthèse. |
Exemple
3x−63x=x+3x+2
Zéros des expressions au dénominateur :
3x−6=0 x+3=0 x=2 x=−3
Domaine de définition : D=R/{−3,2}
Résoudre l’équation
On peut réduire les fractions au même dénominateur et les multiplier avec le dénominateur commun pour éliminer la variable au dénominateur.
MÉTHODE
| 1. | Factorise tous les dénominateurs autant que possible. Conseil : Utilise la mise en évidence, les identités remarquables ou l’approche à deux termes. |
| 2. | Réduis les fractions au même dénominateur (même facteurs). |
| 3. | Multiplie avec le dénominateur commun pour éliminer toutes les fractions. |
| 4. | Continue à résoudre l’équation comme d’habitude. |
| 5. | Compare les solutions potentielles avec le domaine de définition. Attention : Les solutions doivent être des valeurs de x autorisées. Si aucune solution potentielle n’appartient au domaine de définition, l’équation n’a pas de solution. |
Exemple – Résoudre en x
3x−63x=x+3x+2
Factorise et réduis :
3(x−2)3x=x+3x+2
Réduis au même dénominateur :
(x−2)(x+3)x(x+3)=(x+3)(x−2)(x+2)(x−2) ∣⋅(x−2)(x+3)
Multiplie par le dénominateur :
x(x+3)=(x+2)(x−2)
Résous l’équation comme d’habitude :
x2+3x=x2−43x=−4 x=−34∣−x2∣∶3
x=−34 appartient au domaine de définition et est donc une solution.
