Équations avec fractions - avec variable au dénominateur

Le plus important en quelques mots

Si l’inconnue se trouve aussi au dénominateur d’une fraction dans l’équation, on doit d’abord déterminer son « domaine de définition ». Puis, on détermine le résultat de l’équation.

Déterminer le domaine de définition

Le domaine de définition ($$\mathbb{D}$$​) indique quelles valeurs de $$x$$​ peuvent être introduites dans l’équation.

Dans une fraction, le dénominateur ne peut jamais être zéro. Il faut donc exclure les valeurs de $$x$$​ pour lesquelles un dénominateur de l’équation aurait la valeur zéro.

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}\{'Valeurs\ x\ non\ autoris\ acutées\ '\}$$​​

MÉTHODE

Exemple

$$\ \frac{3x}{3x-6}=\frac{x+2}{x+3}$$​​

Zéros des expressions au dénominateur :

$$3x-6=0 \ \ \ \ \ x+3=0\\ \ \ \ \ \ x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-3$$​​

Domaine de définition : $$\mathbb{D}=\mathbb{R}/ \{-3,2\}$$​

Résoudre l’équation

On peut réduire les fractions au même dénominateur et les multiplier avec le dénominateur commun pour éliminer la variable au dénominateur.

MÉTHODE

Exemple – Résoudre en $$x$$​

$$\frac{3x}{3x-6} = \frac{x+2}{x+3}$$​​

Factorise et réduis :

$$\frac{3x}{3(x-2)} = \frac{x+2}{x+3}$$​​

Réduis au même dénominateur :

$$\frac{x(x+3)}{(x-2)(x+3)} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)} \ \ \ \ \ \ \ |\cdot(x-2)(x+3)$$​​

Multiplie par le dénominateur :

$$x(x+3) = (x+2)(x-2)$$​​

Résous l’équation comme d’habitude :

$$\begin{matrix}x^2+3x = x^2-4 &|-x^2\\3x = -4 \ \ \ \ \ &|∶3\\x = -\frac{4}{3} \end{matrix}$$​​

$$x=-\frac{4}{3}$$​ appartient au domaine de définition et est donc une solution.