Fonctions : logarithmiques, exponentielles et puissances

Fonction

Définition

Une fonction attribue exactement une valeur $$y$$​ à chaque valeur de $$x$$​.

Formes de représentation

ÉQUATION

On peut calculer la valeur $$y$$​ qui correspond à une valeur $$x$$​ en évaluant l’expression (à droite) en $$x$$​.

$$y=2x-1$$​​

Exemple : $$x=2$$​​

Valeur $$y$$​ correspondante : $$y=2\cdot2-1=\underline{3}$$​

GRAPHE

On peut lire la valeur $$y$$​ qui correspond à une valeur $$x$$​ dans le graphique.

Exemple : $$x=2$$​​

Valeur $$y$$​ correspondante : $$\underline{y=3}$$​

Aperçu des types de fonction

Fonctions constantes

L’équation d’une fonction constante est de la forme $$y=a$$​, où $$a$$​ est une constante.

Les fonctions constantes ont donc une valeur fixe qui ne dépend pas de $$x$$​. Leur graphe est une ligne horizontale.

Exemple : $$y=1.2$$​​

Fonctions du premier degré

L’équation d’une fonction du premier degré est de la forme $$y=mx+b$$​, où $$m$$​ et $$b$$​ sont des nombres réels. On appelle $$m$$​ la pente et $$b$$​ l’ordonnée à l’origine.

Si $$b=0$$​, on dit que la fonction est linéaire. Elle passe alors par l’origine (le point $$(0\ ;\ 0)$$​ ).

Si $$b\neq0$$​, on dit que la fonction est affine. Elle ne passe pas par l’origine.

Exemple :

Fonction linéaire $$y=0.5x$$​​	Fonction affine ​$$y=0.5x+1$$​​

Fonctions polynomiales

L’équation d’une fonction polynomiale est de la forme suivante :

$$y=\ldots+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x\ +\ a_0$$​​

Les coefficients $$a_n$$​ sont des nombres réels.

Remarque : Les fonctions constantes, linéaires et affines sont également des fonctions polynomiales. 

Si le plus haut exposant d’une fonction polynomiale est 2, on dit aussi que cette fonction est quadratique.

Exemple :

Fonction quadratique	Fonction polynomiale générale

Fonctions puissances

L’équation d’une fonction puissance est de la forme suivante : $$y=x^a$$​, où $$a$$​ est un nombre entier.

La forme générale du graphe d’une fonction puissance dépend de la parité (pair/impair) et du signe (positif/négatif) de l’exposant $$a$$​. 

Exemple :

Exposant positif pair	Exposant positif impair
Exposant négatif pair	Exposant négatif impair

Remarque : Les fonctions puissances avec exposant négatif sont appelées « fonctions rationnelles ».

Fonctions logarithmiques

L’équation d’une fonction logarithmique est de la forme suivante : $${y=log}_a{\left(x\right)}$$​, où $$a$$​ est un nombre réel (la base du logarithme).

Le graphe passe toujours par le point $$(1\ ;\ 0)$$​ mais sa forme générale dépend du signe de $$a$$​.

Exemple :

Base $$a$$​ positive	Base $$a$$​ négative

Fonctions exponentielles

L’équation d’une fonction exponentielle est de la forme suivante : $$\ y=a^x$$​, où $$a$$​ est un nombre réel positif appelé la « base ».

Le graphe passe toujours par le point $$(1\ ;\ 0)$$​ mais sa forme générale diffère selon si $$a$$​ est plus grand ou plus petit que $$1$$​.

Exemple :

Base $$a>1$$​	Base $$0<a<1$$​​