Fonctions : logarithmiques, exponentielles et puissances

Fonction

Définition

Une fonction attribue exactement une valeur $y$ à chaque valeur de $x$ .

Formes de représentation

ÉQUATION

On peut calculer la valeur $y$ qui correspond à une valeur $x$ en évaluant l’expression (à droite) en $x$ .

$y=2x-1$

Exemple : $x=2$

Valeur $y$ correspondante : $y=2\cdot2-1=\underline{3}$ 

GRAPHE

On peut lire la valeur $y$ qui correspond à une valeur $x$ dans le graphique.

Exemple : $x=2$

Valeur $y$ correspondante : $\underline{y=3}$

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Aperçu des types de fonction

Fonctions constantes

L’équation d’une fonction constante est de la forme $y=a$ , où $a$ est une constante.

Les fonctions constantes ont donc une valeur fixe qui ne dépend pas de $x$ . Leur graphe est une ligne horizontale.

Exemple : $y=1.2$

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Fonctions du premier degré

L’équation d’une fonction du premier degré est de la forme $y=mx+b$ , où $m$ et $b$ sont des nombres réels. On appelle $m$ la pente et $b$ l’ordonnée à l’origine.

Si $b=0$ , on dit que la fonction est linéaire. Elle passe alors par l’origine (le point $(0\ ;\ 0)$ ).

Si $b\neq0$ , on dit que la fonction est affine. Elle ne passe pas par l’origine.

Exemple :

Fonction linéaire

$y=0.5x$

Fonction affine

y=0.5x+1

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Fonctions polynomiales

L’équation d’une fonction polynomiale est de la forme suivante :

$y=\ldots+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x\ +\ a_0$

Les coefficients $a_n$ sont des nombres réels.

Remarque : Les fonctions constantes, linéaires et affines sont également des fonctions polynomiales.

Si le plus haut exposant d’une fonction polynomiale est 2, on dit aussi que cette fonction est quadratique.

Exemple :

Fonction quadratique	Fonction polynomiale générale

Fonctions puissances

L’équation d’une fonction puissance est de la forme suivante : $y=x^a$ , où $a$ est un nombre entier.

La forme générale du graphe d’une fonction puissance dépend de la parité (pair/impair) et du signe (positif/négatif) de l’exposant $a$ .

Exemple :

Exposant positif pair	Exposant positif impair

Exposant négatif pair	Exposant négatif impair

Remarque : Les fonctions puissances avec exposant négatif sont appelées « fonctions rationnelles ».

Fonctions logarithmiques

L’équation d’une fonction logarithmique est de la forme suivante : ${y=log}_a{\left(x\right)}$ , où $a$ est un nombre réel (la base du logarithme).

Le graphe passe toujours par le point $(1\ ;\ 0)$ mais sa forme générale dépend du signe de $a$ .

Exemple :

Base $a$ positive	Base $a$ négative

Fonctions exponentielles

L’équation d’une fonction exponentielle est de la forme suivante : $\ y=a^x$ , où $a$ est un nombre réel positif appelé la « base ».

Le graphe passe toujours par le point $(1\ ;\ 0)$ mais sa forme générale diffère selon si $a$ est plus grand ou plus petit que $1$ .

Exemple :

Base $a>1$	Base $0<a<1$