Multiplication de deux parenthèses : cas particuliers

En général

Pour la multiplication de deux parenthèses contenant des additions/soustractions tu peux appliquer la méthode suivante :

MÉTHODE

1.	Multiplie chaque élément de la première parenthèse avec chaque élément de la deuxième parenthèse.	$\left(2+x\right)\left(2x+3\right)=2\cdot2x+2\cdot3+2x\cdot x+x\cdot3 \\=2x+6+2x^2+3x=2x^2+5x+6$
2.	Simplifie le résultat autant que possible.

Conseil : Trie les termes par exposants décroissant de la variable.

Cas particuliers

Identités remarquables (mêmes éléments dans les parenthèses)

Les identités remarquables sont utilisées comme raccourcis pour la multiplication de deux parenthèses et pour la factorisation (formation de parenthèses).

Les parenthèses sont formées à partir des mêmes éléments $a,b$ et $c$ :

$\left(a+b\right)\left(a+b\right)$

ou

$\left(a-b\right)\left(a-b\right)$

ou

$\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

ou

$\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)$

Formule		Exemple
1^ÈRE IDENTITÉ REMARQUABLE	$\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2$	$\left(x+5\right)^2=x^2+10x+25$
2^ÈME IDENTITÉ REMARQUABLE	$\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-2ab+b^2$	$\left(x-7\right)^2=x^2-14x+49$
3^ÈME IDENTITÉ REMARQUABLE	$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$	$\left(4-x\right)\left(4+x\right)=16-x^2$
IDENTITÉ REMARQUABLE TRINOMIALE	$\left(a+b+c\right)^2=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$	$\left(x+y+1\right)^2=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$

Approche à deux termes (parenthèses similaires)

L’approche à deux termes est aussi utilisée comme raccourci pour la multiplication de deux parenthèses et pour la factorisation (formation de parenthèses).

Les deux parenthèses ont un élément en commun :

$\left(x+a\right)\cdot\left(x+b\right)=x^2+\left(a+b\right)x+ab$

Additionne les nombres et pour trouver le coefficient de $x$  et multiplie les nombres pour trouver le terme sans $x$ .

Exemple

$\left(x+2\right)\left(x+3\right)=x^2+(2+3)x+2\cdot3=x^2+5x+6$

Équations

Pour résoudre une équation contenant des parenthèses multipliées, on commence par développer l’expression.

MÉTHODE

1.	Supprime les parenthèses en respectant les règles de multiplication.
2.	Simplifie les termes autant que possible.
3.	Utilise les méthodes habituelles pour résoudre l’équation.

Exemple

Résous l’équation suivante :

$\left(2x+4\right)\left(x+3\right)=2\left(x+1\right)\left(x+3\right)$ 

Supprime les parenthèses :

$2x^2+6x+4x+12=2x^2+6x+2x+6$ 

Simplifie les termes :

$2x^2+10x+12=2x^2+8x+6$ 

Résous l’équation :

$\begin{matrix}2x^2+10x+12=2x^2+8x+6 \ \ &\left |-2\right.x^2\\10x+12=8x+6\ \ &\left|-8x\right.\\2x+12=6\ \ &\left|-12\right.\\2x=-6\ \ &\left| ∶2\right.\\x=-3 \end{matrix}$ 

Aire et périmètre

Quand les dimensions d’une figure sont données, on peut calculer son aire et son périmètre. Si certaines des dimensions sont des inconnues, il est quand même possible d’exprimer l’aire et le périmètre à l’aide de termes contenant des variables.

MÉTHODE

1.	Détermine la longueur des côtés dont tu as besoin.
2.	Utilise les formules de calcul d’aire et de périmètre pour exprimer la valeur demandée.
3.	Si nécessaire, multiplie les parenthèses et simplifie l’expression.

Remarque : Si ce n’est pas possible de calculer l’aire directement, tu peux découper le polygone en figures plus simples. N’oublie pas d’additionner les aires de chaque partie à la fin.

Exemple

Exprime l’aire et le périmètre de la figure suivante :

Mathématiques; Factorisation; 10e Harmos / CO; Multiplication de deux parenthèses

Aire : $longueur\cdot largeur\ =(a+3)\cdot(a-3)=a^2-9$ 

Périmètre : $2\cdot longueur+2\cdot largeur=2\cdot\left(a+3\right)+2\cdot\left(a-3\right)=4a$ 