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Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

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Lehrperson: Kim

Zusammenfassung

Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Die Kennwerte sind nur dann anwendbar, wenn die Ergebnisse der Zufallsexperimente Zahlenwerte sind.



Erwartungswert μ\Large\mathbf{\mu}​ 

Definition

Der Erwartungswert (von ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten) ist der gewichtete Mittelwert der Ergebnisse.


Formel

​μ=E(X)=x1⋅P(X=x1)+…+xn⋅P(X=xn)\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P\left(X=x_1\right)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)​​

​x…x_\ldots​​

Mögliche Ergebnisse (Zahlenwerte)

​P(X=x…)P\left(X=x_\ldots\right)​​

Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse


Beispiel

Würfle einen Würfel zweimal. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der Augenzahlen an. 


Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen:

Mathematik; Statistik; 3. Gymi; Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung


Erwartungswert:

​E(X)=2⋅136+3⋅236+4⋅336+5⋅436+6⋅536+7⋅636+8⋅536+9⋅436+10⋅336+11⋅236+12⋅136=7E\left(X\right)=2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+5\cdot\frac{4}{36}+6\cdot\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}+8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{4}{36}+10\cdot\frac{3}{36}+11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}=7​​


Im Durchschnitt sollte man pro Wurf die Augenzahl 7 erhalten.



Varianz V\mathbf{V}​ und Standardabweichung σ\mathbf{\sigma}​

Definition

STANDARDABWEICHUNG

σ=V(X)\sigma=\sqrt{V(X)}​​

Durchschnittliche Entfernung der Ergebnisse vom Erwartungswert

VARIANZ

V(X)V(X)​​

Quadrat der Standardabweichung


Formeln

VARIANZ

​V(X)=(x1−μ)2⋅P(X=x1)+…+(xn−μ)2⋅P(X=xn)V\left(X\right)={(x_1-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_1\right)+\ldots+{(x_n-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_n\right)​​

STANDARDABWEICHUNG

​σ=V(X)=(x1−μ)2⋅P(X=x1)+…+(xn−μ)2⋅P(X=xn)\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{{(x_1-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_1\right)+\ldots+{(x_n-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_n\right)}​​



Sigma-Umgebung

Die Sigma-Umgebung stellt einen Zahlenbereich um den Erwartungswert dar, welcher ca. 68% aller möglichen Ergebnisse beinhaltet.

Die Umgebung ergibt sich aus dem Mittelwert und den Standardabweichungen:


Mathematik; Statistik; 3. Gymi; Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung





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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wann kann man Kennwerte benutzen?

Was sind Erwartungswerte?

Was ist die Sigma-Umgebung?

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