Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Die Kennwerte sind nur dann anwendbar, wenn die Ergebnisse der Zufallsexperimente Zahlenwerte sind.

Erwartungswert $\Large\mathbf{\mu}$

Definition

Der Erwartungswert (von ein- oder mehrstufigen Zufallsexperimenten) ist der gewichtete Mittelwert der Ergebnisse.

Formel

$\mu=E\left(X\right)=x_1\cdot P\left(X=x_1\right)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)$	$x_\ldots$	Mögliche Ergebnisse (Zahlenwerte)
	$P\left(X=x_\ldots\right)$	Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse

Beispiel

Würfle einen Würfel zweimal. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der Augenzahlen an.

Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen:

Mathematik; Statistik; 3. Gymi; Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Erwartungswert:

$E\left(X\right)=2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+5\cdot\frac{4}{36}+6\cdot\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}+8\cdot\frac{5}{36}+9\cdot\frac{4}{36}+10\cdot\frac{3}{36}+11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}=7$

Im Durchschnitt sollte man pro Wurf die Augenzahl 7 erhalten.

Varianz $\mathbf{V}$ und Standardabweichung $\mathbf{\sigma}$

Definition

STANDARDABWEICHUNG

$\sigma=\sqrt{V(X)}$

Durchschnittliche Entfernung der Ergebnisse vom Erwartungswert

VARIANZ

$V(X)$

Quadrat der Standardabweichung

Formeln

VARIANZ	$V\left(X\right)={(x_1-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_1\right)+\ldots+{(x_n-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_n\right)$
STANDARDABWEICHUNG	$\sigma=\sqrt{V(X)}=\sqrt{{(x_1-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_1\right)+\ldots+{(x_n-\mu)}^2\cdot P\left(X=x_n\right)}$

Sigma-Umgebung

Die Sigma-Umgebung stellt einen Zahlenbereich um den Erwartungswert dar, welcher ca. 68% aller möglichen Ergebnisse beinhaltet.

Die Umgebung ergibt sich aus dem Mittelwert und den Standardabweichungen:

Mathematik; Statistik; 3. Gymi; Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung