Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Oftmals musst Du Funktionen auf zwei Arten der Symmetrie prüfen:

Achsensymmetrie zur y-Achse: Wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt?
Punktsymmetrie (Drehsymmetrie) zum Ursprung: Wird die Funktion um den Ursprung (Punkt $\left(0\middle|0\right)$ ) um 180° gedreht?

Regeln

Mit folgenden Regeln prüfst Du die Funktion auf die entsprechende Symmetrie:

Achsensymmetrie zur y-Achse

Ersetzt Du jedes $x$ mit $-x$ , erhälst Du dann den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

$f(x)=f(-x)$

Punktsymmetrie zum Ursprung

Ersetzt Du jedes $x$ mit $-x$ und setzt ein Minus vor die gesamte Funktion, erhälst Du dann den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

$f(x)=-f(-x)$

Beispiel

Achsensymmetrie zur y-Achse prüfen.

$f(x)=\frac12e^{x^2}$

Einsetzen:

$f(-x)=\frac12e^{(-x)^2} =\frac12e^{x^2}=f(x) \,\,\,\,\,\,( \checkmark)$

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Beispiel

Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen.

$f(x)=\frac{1}{x^3}+2x$ 

Einsetzen:

$-f(-x)=-\Big( \frac{1}{(-x)^3} + 2(-x) \Big)\\= -\Big(-\frac{1}{x^3}-2x \Big) \\=\frac{1}{x^3}+2x= f(x) \,\,\,\,(\checkmark)$ 

Die Funktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Hinweis: $cos\left(x\right)$ ist achsensymmetrisch, $sin\left(x\right)$ ist punktsymmetrisch.

Tipps für Potenzfunktionen

Hat eine Potenzfunktion nur ungerade Exponenten ( $x^1,\ x^3,{\ x}^5\ldots$ ) ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung. Man sagt dann auch, dass die Funktion ungerade ist.
Hat eine Potenzfunktion nur gerade Exponenten ( $x^2,\ x^4,{\ x}^6\ldots$ ) ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Man sagt dann auch, dass die Funktion gerade ist.