Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Oftmals musst Du Funktionen auf zwei Arten der Symmetrie prüfen:

• Achsensymmetrie zur y-Achse: Wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt?
  
• Punktsymmetrie (Drehsymmetrie) zum Ursprung: Wird die Funktion um den Ursprung (Punkt $$\left(0\middle|0\right)$$​) um 180° gedreht?

Regeln

Mit folgenden Regeln prüfst Du die Funktion auf die entsprechende Symmetrie:

Achsensymmetrie zur y-Achse

Ersetzt Du jedes $$x$$​ mit $$-x$$​, erhälst Du dann den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion achsensymmetrisch zur $$y$$​-Achse.

​$$f(x)=f(-x)$$​​

Punktsymmetrie zum Ursprung

Ersetzt Du jedes $$x$$​ mit $$-x$$​ und setzt ein Minus vor die gesamte Funktion, erhälst Du dann den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

​$$f(x)=-f(-x)$$​​

Beispiel

Achsensymmetrie zur y-Achse prüfen.

​$$f(x)=\frac12e^{x^2}$$​​

Einsetzen:

​$$f(-x)=\frac12e^{(-x)^2} =\frac12e^{x^2}=f(x) \,\,\,\,\,\,( \checkmark)$$​​

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur $$y$$-Achse.

Beispiel

Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen.

$$f(x)=\frac{1}{x^3}+2x$$​​

Einsetzen:

$$-f(-x)=-\Big( \frac{1}{(-x)^3} + 2(-x) \Big)\\= -\Big(-\frac{1}{x^3}-2x \Big) \\=\frac{1}{x^3}+2x= f(x) \,\,\,\,(\checkmark)$$​​

Die Funktion ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Hinweis: $$cos\left(x\right)$$​ ist achsensymmetrisch, $$sin\left(x\right)$$​ ist punktsymmetrisch.

Tipps für Potenzfunktionen

• Hat eine Potenzfunktion nur ungerade Exponenten ($$x^1,\ x^3,{\ x}^5\ldots$$​) ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung. Man sagt dann auch, dass die Funktion ungerade ist.
  
• Hat eine Potenzfunktion nur gerade Exponenten ($$x^2,\ x^4,{\ x}^6\ldots$$​) ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse. Man sagt dann auch, dass die Funktion gerade ist.