Was gibt es alles für Symmetrien?

Oftmals muss man Funktionen auf zwei Arten der Symmetrie prüfen: Achsensymmetrie zur y-Achse: Wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt und Punktsymmetrie (Drehsymmetrie) zum Ursprung: Wird die Funktion um den Ursprung (Punkt (0│0)) um 180° gedreht?

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Lernziele

Mathematik

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

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Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Oftmals muss man Funktionen auf zwei Arten der Symmetrie prüfen:

Achsensymmetrie zur y-Achse: Wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt?
Punktsymmetrie (Drehsymmetrie) zum Ursprung: Wird die Funktion um den Ursprung (Punkt $\left(0\middle|0\right)$ ) um 180° gedreht?

Regeln

Mit folgenden Regeln prüft man die Funktion auf die entsprechende Symmetrie:

Symmetrie

Regel

Gespiegelt an der y-Achse

$f(x)=f(-x)$

Ersetzt man jedes $x$ mit $-x$ , erhält man den gleichen Funktionswert?

Falls ja, ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Punktgespiegelt um den Ursprung

$f(x)=-f(-x)$

Ersetzt man jedes $x$ mit $-x$ und setzt ein Minus vor die gesamte Funktion, erhält man den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele

Achsensymmetrie zur y-Achse prüfen	Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x^2}$	$f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}+2x$
Einsetzen: $f\left(-x\right)=\frac{1}{2}e^{\left(-x\right)^2}=\frac{1}{2}e^{x^2}=f\left(x\right) \checkmark$ Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.	Einsetzen: $-f\left(-x\right)=-\left(\frac{1}{\left(-x\right)^3}+2\left(-x\right)\right) =-\left(-\frac{1}{x^3}-2x\right) =\frac{1}{x^3}+2x=f\left(x\right) \checkmark$ Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Hinweis: $cos\left(x\right)$  ist achsensymmetrisch, $sin\left(x\right)$ ist punktsymmetrisch.

Tipps für Potenzfunktionen:

Hat eine Potenzfunktion nur ungerade Exponenten ( $x^1,\ x^3,{\ x}^5\ldots$ ) ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.
Hat eine Potenzfunktion nur gerade Exponenten ( $x^2,\ x^4,{\ x}^6\ldots$ ) ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse.

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Oftmals muss man Funktionen auf zwei Arten der Symmetrie prüfen:

Achsensymmetrie zur y-Achse: Wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt?
Punktsymmetrie (Drehsymmetrie) zum Ursprung: Wird die Funktion um den Ursprung (Punkt $\left(0\middle|0\right)$ ) um 180° gedreht?

Regeln

Mit folgenden Regeln prüft man die Funktion auf die entsprechende Symmetrie:

Symmetrie

Regel

Gespiegelt an der y-Achse

$f(x)=f(-x)$

Ersetzt man jedes $x$ mit $-x$ , erhält man den gleichen Funktionswert?

Falls ja, ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Punktgespiegelt um den Ursprung

$f(x)=-f(-x)$

Ersetzt man jedes $x$ mit $-x$ und setzt ein Minus vor die gesamte Funktion, erhält man den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele

Achsensymmetrie zur y-Achse prüfen	Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen
$f\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{x^2}$	$f\left(x\right)=\frac{1}{x^3}+2x$
Einsetzen: $f\left(-x\right)=\frac{1}{2}e^{\left(-x\right)^2}=\frac{1}{2}e^{x^2}=f\left(x\right) \checkmark$ Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.	Einsetzen: $-f\left(-x\right)=-\left(\frac{1}{\left(-x\right)^3}+2\left(-x\right)\right) =-\left(-\frac{1}{x^3}-2x\right) =\frac{1}{x^3}+2x=f\left(x\right) \checkmark$ Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Hinweis: $cos\left(x\right)$  ist achsensymmetrisch, $sin\left(x\right)$ ist punktsymmetrisch.

Tipps für Potenzfunktionen:

Hat eine Potenzfunktion nur ungerade Exponenten ( $x^1,\ x^3,{\ x}^5\ldots$ ) ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.
Hat eine Potenzfunktion nur gerade Exponenten ( $x^2,\ x^4,{\ x}^6\ldots$ ) ist sie achsensymmetrisch zur y-Achse.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

FAQs

Frage: Welche Funktionen sind achsensymmetrisch?

Antwort: Ersetzt man jedes x mit -x, erhält man den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Frage: Welche Funktionen sind punktsymmetrisch?

Antwort: Ersetzt man jedes x mit -x und setzt ein Minus vor die gesamte Funktion, erhält man den gleichen Funktionswert? Falls ja, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Frage: Was gibt es alles für Symmetrien?

Antwort: Oftmals muss man Funktionen auf zwei Arten der Symmetrie prüfen: Achsensymmetrie zur y-Achse: Wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt und Punktsymmetrie (Drehsymmetrie) zum Ursprung: Wird die Funktion um den Ursprung (Punkt (0│0)) um 180° gedreht?

Theorie

Übungen

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Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Regeln

Gespiegelt an der y-Achse

Punktgespiegelt um den Ursprung

​Beispiele

Tipps für Potenzfunktionen:

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Regeln

Gespiegelt an der y-Achse

Punktgespiegelt um den Ursprung

​Beispiele

Tipps für Potenzfunktionen:

Ich habe die Theorie verstanden.

Beispiele

Beispiele