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Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

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Zusammenfassung

Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen. Dies ist zum Beispiel hilfreich bei der Bestimmung der Anzahl Möglichkeiten gewisse Dinge auszuwählen oder Kugeln aus einer Urne zu ziehen. 



Variationsformeln

Die Formeln der Variation werden verwendet, wenn:

  1. man nicht alle Elemente verwendet, sondern eine Auswahl trifft, und
  2. die Reihenfolge beachtet, in der man die Elemente wählt oder anordnet.

n: Anzahl unterschiedlicher Elementek: Anzahl entnommener/gewa¨hlter Elementen:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente​​

Mathematik; Kombinatorik; 3. Gymi; Variationsformeln ohne und mit Wiederholung


Hinweis: Bei «Ohne Wiederholung» dürfen sich die Elemente nicht wiederholen. Bei «Mit Wiederholung» dürfen sie sich wiederholen.


Beispiel 1 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Man zieht 5 Kugeln, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen kann man die Kugeln ziehen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

n!(nk)!\frac{n!}{\left(n-k\right)!}​​
n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogener Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogener\ Kugeln=5​​
10!(105)!=30 240\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}​​


Beispiel 2 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind beliebig viele schwarze und grüne Kugeln. Man zieht 3 Kugeln.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen kann man die Kugeln ziehen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

nkn^k​​
n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogener Kugeln=3n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogener\ Kugeln=3​​
23=82^3=\underline{8}​​



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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie berchnet man die Variation?

Wann wird die Variationsformel verwendet?

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