Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen. Dies ist zum Beispiel hilfreich bei der Bestimmung der Anzahl Möglichkeiten gewisse Dinge auszuwählen oder Kugeln aus einer Urne zu ziehen.

Variationsformeln

Die Formeln der Variation werden verwendet, wenn:

man nicht alle Elemente verwendet, sondern eine Auswahl trifft, und
die Reihenfolge beachtet, in der man die Elemente wählt oder anordnet.

$n:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente$

Mathematik; Kombinatorik; 3. Gymi; Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

Hinweis: Bei «Ohne Wiederholung» dürfen sich die Elemente nicht wiederholen. Bei «Mit Wiederholung» dürfen sie sich wiederholen.

Beispiel 1 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Man zieht 5 Kugeln, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen kann man die Kugeln ziehen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogener\ Kugeln=5$	$\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}$

Beispiel 2 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind beliebig viele schwarze und grüne Kugeln. Man zieht 3 Kugeln.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen kann man die Kugeln ziehen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n^k$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogener\ Kugeln=3$	$2^3=\underline{8}$