Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse:
Gewinn-Maximum
Kosten-Minimum
Flächeninhalt-Maximum
Volumen-Maximum
Etc.
Meist muss man die Grösse als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.
Extremalprobleme lösen
Aufgaben zu Extremalprobleme sind sehr unterschiedlich. Folgendes Vorgehen kann bei vielen Aufgaben helfen.
VORGEHEN
1.
Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen: die Zielgrösse, Unbekannte und Nebenbedingungen.
2.
Die Zielgrösse als Funktion (Zielfunktion) beschreiben. Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.
3.
Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben:
Zwei Unbekannte: Eine Gleichung
Drei Unbekannte: Zwei Gleichungen
4.
Gleichungen in die Funktion der Zielgrösse einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt.
5.
Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen:
Erste Ableitung lösen: f′(x)=0
Zweite Ableitung prüfen:
f′′(x)<0
⟶
Maximum
f′′(x)>0
⟶
Minimum
f′′(x)=0
⟶
Kein Maximum oder Minimum
6.
Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen.
7.
Gesuchte Grösse bestimmen.
Beispiel
Ein Zaun soll in einem Rechteck aufgestellt werden. Er ist 100 m lang und die eingezäunte Fläche soll maximal sein. Wie breit und wie lang soll das Rechteck sein?
Zielfunktion: Fläche
F=b⋅l
Nebenbedingung Umfang=100m:
100=2b+2l
Nach l auflösen:
l=50−b
Einsetzen in die Funktion:
F(l)=b⋅(50−b)=50b−b2
Maximum bestimmen:
Ableitungen:
F′(l)=50−2b
F′′(l)=−2
f′(x)=0 lösen:
0=50−2b
b=25
f′′ prüfen:
F′′(25)=−2<0,Maximum
Das Rechteck mit der grössten Fläche ist 25m lang und 25m breit.
Typische Zielfunktionen
Gewinn
=Einnahmen−Kosten
Flächeninhalt
Rechteck=Breite⋅La¨nge
AllgemeinesDreieck=Seite⋅Ho¨he:2
RechtwinkligesDreieck=Kathete⋅Kathete:2
Kreis=π⋅Radius2
Volumen
Quader=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he
Pyramide=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he:3
Zylinder=π⋅Radius2⋅Ho¨he
Kegel=π⋅Radius2⋅Ho¨he:3
Mehr dazu
Lerne mit Grundlagen
Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
Dauer:
Teil 1
Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen
Teil 2
Lokale und globale Extrempunkte bestimmen
Abkürzung
Erziele 80% um direkt zum letzten Teil zu springen.
Optional
Teil 3
Verschiedene Extremalwertprobleme lösen
Finaler Test
Test aller vorherigen Teile, um einen Belohnungsplaneten zu erhalten.
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist eine Extremalaufgabe?
Bei Extremalwertproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: So sollst Du vielleicht den Flächeninhalt einer Figur maximieren, oder die Kosten einer Firma minimieren.
Was ist das Extremalproblem?
Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: Meist muss man die Grösse als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.
Wie löse ich Extremalwertprobleme?
1. Die Zielgrösse als Funktion beschreiben. 2. Nebenbedingungen aufstellen 3. Gleichungen in die Funktion der Zielgrösse einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt. 4. Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen: Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen. 5. Zweite Ableitung berechnen und prüfen, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.
