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Zusammenfassung

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Definition 

Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: 

  • Gewinn-Maximum 
  • Kosten-Minimum 
  • Flächeninhalt-Maximum 
  • Volumen-Maximum 
  • Etc. 

Meist muss man die Grösse als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen. 


Extremalprobleme lösen 

Aufgaben zu Extremalprobleme sind sehr unterschiedlich. Folgendes Vorgehen kann bei vielen Aufgaben helfen. 


VORGEHEN

1.

​Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen: die Zielgrösse, Unbekannte und Nebenbedingungen.

2.

​Die Zielgrösse als Funktion (Zielfunktion) beschreiben.
Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.

3.

​Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben: 

Zwei Unbekannte: Eine Gleichung 

Drei Unbekannte: Zwei Gleichungen

4.

​Gleichungen in die Funktion der Zielgrösse einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt.

5.

​Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen: 

Erste Ableitung lösen: f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​​

Zweite Ableitung prüfen:

​f′′(x)<0f^{\prime\prime}\left(x\right)<0f′′(x)<0​​
​⟶\longrightarrow⟶​​
Maximum
​f′′(x)>0f^{\prime\prime}\left(x\right)>0f′′(x)>0​​
​⟶\longrightarrow⟶​​
Minimum
​f′′(x)=0f^{\prime\prime}\left(x\right)=0f′′(x)=0​​
​⟶\longrightarrow⟶​​
Kein Maximum oder Minimum


6.

Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen.

7.

Gesuchte Grösse bestimmen.


Beispiel 

Ein Zaun soll in einem Rechteck aufgestellt werden. Er ist 100 m lang und die eingezäunte Fläche soll maximal sein. Wie breit und wie lang soll das Rechteck sein? 


Zielfunktion: Fläche 

​F=b⋅lF=b\cdot l F=b⋅l​​

Nebenbedingung Umfang=100 mUmfang =100\ mUmfang=100 m​: 

100=2b+2l100=2b+2l 100=2b+2l​

Nach lll​ auflösen: 

l=50−bl=50-b l=50−b​

Einsetzen in die Funktion: 

F(l)=b⋅(50−b)=50b−b2F\left(l\right)=b\cdot \left(50-b\right)=50b-b^2 F(l)=b⋅(50−b)=50b−b2​

Maximum bestimmen: 

Ableitungen: 

F′(l)=50−2bF^\prime\left(l\right)=50-2b F′(l)=50−2b​

F′′(l)=−2F''\left(l\right)=-2 F′′(l)=−2​

f′(x)=0f^\prime\left(x\right)=0f′(x)=0​ lösen: 

0=50−2b0=50-2b 0=50−2b​

b=25b=25 b=25​

f′′f^{\prime\prime}f′′​ prüfen: 

F′′(25)=−2<0, MaximumF''\left(25\right)=-2<0,\ Maximum F′′(25)=−2<0, Maximum​


Das Rechteck mit der grössten Fläche ist 25m25m25m​ lang und 25m25m25m​ breit.

Typische Zielfunktionen

Gewinn

​=Einnahmen−Kosten=Einnahmen-Kosten=Einnahmen−Kosten​​

Flächeninhalt

​Rechteck=Breite⋅La¨ngeRechteck=Breite \cdot LängeRechteck=Breite⋅La¨nge​​

​Allgemeines Dreieck=Seite⋅Ho¨he:2Allgemeines \ Dreieck =Seite\cdot H\ddot{o}he :2Allgemeines Dreieck=Seite⋅Ho¨he:2​​

​Rechtwinkliges Dreieck=Kathete⋅Kathete:2Rechtwinkliges \ Dreieck =Kathete\cdot Kathete : 2Rechtwinkliges Dreieck=Kathete⋅Kathete:2​​

​Kreis=π⋅Radius2Kreis =\pi\cdot {Radius}^2Kreis=π⋅Radius2​​

Volumen

​Quader=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨heQuader =Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}heQuader=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he​​

​Pyramide=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he:3Pyramide =Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he :3Pyramide=Breite⋅La¨nge⋅Ho¨he:3​​

​Zylinder=π⋅Radius2⋅Ho¨heZylinder =\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}heZylinder=π⋅Radius2⋅Ho¨he​​

​Kegel=π⋅Radius2⋅Ho¨he:3Kegel =\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he:3 Kegel=π⋅Radius2⋅Ho¨he:3​​

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Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Extremalaufgabe?

Bei Extremalwertproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: So sollst Du vielleicht den Flächeninhalt einer Figur maximieren, oder die Kosten einer Firma minimieren.

Was ist das Extremalproblem?

Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: Meist muss man die Grösse als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.

Wie löse ich Extremalwertprobleme?

1. Die Zielgrösse als Funktion beschreiben. 2. Nebenbedingungen aufstellen 3. Gleichungen in die Funktion der Zielgrösse einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt. 4. Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen: Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen. 5. Zweite Ableitung berechnen und prüfen, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

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