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Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

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Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung trigonometrische Funktion

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Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Integralrechnung

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Geometrie

Trigonometrie

Sinus und Kosinus im Dreieck: Definition & Werte

Tangens im Dreieck: Definition & Werte

Trigonometrische Terme berechnen: Rechenregeln

Einheitskreis: Definition & typische Aufgaben

Seiten & Winkel mit Sinus- & Kosinussatz berechnen

Vektorgeometrie

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Stochastik

Grundlagen

Mengenlehre: Definition und Mengenoperatoren

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Brüche

Erklärvideo

Zusammenfassung

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Definition

Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse:

Gewinn-Maximum
Kosten-Minimum
Flächeninhalt-Maximum
Volumen-Maximum
Etc.

Meist muss man die Grösse als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.

Extremalprobleme lösen

Aufgaben zu Extremalprobleme sind sehr unterschiedlich. Folgendes Vorgehen kann bei vielen Aufgaben helfen.

VORGEHEN

Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen: die Zielgrösse, Unbekannte und Nebenbedingungen.

Die Zielgrösse als Funktion (Zielfunktion) beschreiben.
Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.

Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben:

Zwei Unbekannte: Eine Gleichung

Drei Unbekannte: Zwei Gleichungen

Gleichungen in die Funktion der Zielgrösse einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt.

Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen:

Erste Ableitung lösen: $f^\prime\left(x\right)=0$

Zweite Ableitung prüfen:

$f^{\prime\prime}\left(x\right)<0$	$\longrightarrow$	Maximum
$f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$	$\longrightarrow$	Minimum
$f^{\prime\prime}\left(x\right)=0$	$\longrightarrow$	Kein Maximum oder Minimum

Gegebenenfalls Grenzwerte der Unbekannten prüfen.

Gesuchte Grösse bestimmen.

Beispiel

Ein Zaun soll in einem Rechteck aufgestellt werden. Er ist 100 m lang und die eingezäunte Fläche soll maximal sein. Wie breit und wie lang soll das Rechteck sein?

Zielfunktion: Fläche

$F=b\cdot l$

Nebenbedingung $Umfang =100\ m$ :

$100=2b+2l$ 

Nach $l$ auflösen:

$l=50-b$ 

Einsetzen in die Funktion:

$F\left(l\right)=b\cdot \left(50-b\right)=50b-b^2$ 

Maximum bestimmen:

Ableitungen:

$F^\prime\left(l\right)=50-2b$ 

$F''\left(l\right)=-2$ 

$f^\prime\left(x\right)=0$ lösen:

$0=50-2b$ 

$b=25$ 

$f^{\prime\prime}$ prüfen:

$F''\left(25\right)=-2<0,\ Maximum$ 

Das Rechteck mit der grössten Fläche ist $25m$ lang und $25m$ breit.

Typische Zielfunktionen

Gewinn

$=Einnahmen-Kosten$

Flächeninhalt

$Rechteck=Breite \cdot Länge$

$Allgemeines \ Dreieck =Seite\cdot H\ddot{o}he :2$

$Rechtwinkliges \ Dreieck =Kathete\cdot Kathete : 2$

$Kreis =\pi\cdot {Radius}^2$

Volumen

$Quader =Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he$

$Pyramide =Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he :3$

$Zylinder =\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he$

$Kegel =\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he:3$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Teil 2

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Abkürzung

Optional

Teil 3

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Finaler Test

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Extremalaufgabe?

Bei Extremalwertproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: So sollst Du vielleicht den Flächeninhalt einer Figur maximieren, oder die Kosten einer Firma minimieren.

Was ist das Extremalproblem?

Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: Meist muss man die Grösse als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.

Wie löse ich Extremalwertprobleme?

1. Die Zielgrösse als Funktion beschreiben. 2. Nebenbedingungen aufstellen 3. Gleichungen in die Funktion der Zielgrösse einsetzen, sodass nur eine Unbekannte bleibt. 4. Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen: Erste Ableitung bilden und deren Nullstellen bestimmen. 5. Zweite Ableitung berechnen und prüfen, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

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Text lesen und alle wichtigen Informationen unterstreichen: die Zielgrösse, Unbekannte und Nebenbedingungen.

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Tipp: Oft ist die Funktion von zwei Unbekannten abhängig.

Mit Hilfe der Nebenbedingungen die Verhältnisse zwischen den Unbekannten als Gleichungen beschreiben:

Zwei Unbekannte: Eine Gleichung

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Maximum bzw. Minimum der Funktion bestimmen:

Erste Ableitung lösen: $f^\prime\left(x\right)=0$

Zweite Ableitung prüfen:

$f^{\prime\prime}\left(x\right)<0$	$\longrightarrow$	Maximum
$f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$	$\longrightarrow$	Minimum
$f^{\prime\prime}\left(x\right)=0$	$\longrightarrow$	Kein Maximum oder Minimum

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Gesuchte Grösse bestimmen.

Beispiel

Ein Zaun soll in einem Rechteck aufgestellt werden. Er ist 100 m lang und die eingezäunte Fläche soll maximal sein. Wie breit und wie lang soll das Rechteck sein?

Zielfunktion: Fläche

$F=b\cdot l$

Nebenbedingung $Umfang =100\ m$ :

$100=2b+2l$ 

Nach $l$ auflösen:

$l=50-b$ 

Einsetzen in die Funktion:

$F\left(l\right)=b\cdot \left(50-b\right)=50b-b^2$ 

Maximum bestimmen:

Ableitungen:

$F^\prime\left(l\right)=50-2b$ 

$F''\left(l\right)=-2$ 

$f^\prime\left(x\right)=0$ lösen:

$0=50-2b$ 

$b=25$ 

$f^{\prime\prime}$ prüfen:

$F''\left(25\right)=-2<0,\ Maximum$ 

Das Rechteck mit der grössten Fläche ist $25m$ lang und $25m$ breit.

Typische Zielfunktionen

Gewinn

$=Einnahmen-Kosten$

Flächeninhalt

$Rechteck=Breite \cdot Länge$

$Allgemeines \ Dreieck =Seite\cdot H\ddot{o}he :2$

$Rechtwinkliges \ Dreieck =Kathete\cdot Kathete : 2$

$Kreis =\pi\cdot {Radius}^2$

Volumen

$Quader =Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he$

$Pyramide =Breite\cdot L\ddot{a}nge\cdot H\ddot{o}he :3$

$Zylinder =\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he$

$Kegel =\pi\cdot{Radius}^2\cdot H\ddot{o}he:3$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Teil 2

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Abkürzung

Optional

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Was ist eine Extremalaufgabe?

Bei Extremalwertproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: So sollst Du vielleicht den Flächeninhalt einer Figur maximieren, oder die Kosten einer Firma minimieren.

Was ist das Extremalproblem?

Bei Extremalproblemen sucht man das Minimum oder Maximum einer Grösse: Meist muss man die Grösse als Funktion beschreiben und von dieser Funktion das Maximum bzw. das Minimum berechnen.