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Lehrperson: Chiara
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Zusammenfassung

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Addition und Subtraktion

Damit Matrizen addiert oder subtrahiert werden können, müssen sie dieselben Dimensionen haben.


ADDITION

von zwei Matrizen

Addiere die Einträge, welche an derselben Position stehen.

A+B=(a11a12a21a22)+(b11b12b21b22)=(a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22)A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{matrix}\right)A+B=(a11​a21​​a12​a22​​)+(b11​b21​​b12​b22​​)=(a11​+b11​a21​+b21​​a12​+b12​a22​+b22​​)​​

SUBTRAKTION

von zwei Matrizen

Subtrahiere die Einträge, welche an derselben Position stehen.

A−B=(a11a12a21a22)−(b11b12b21b22)=(a11−b11a12−b12a21−b21a22−b22)A-B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\\\end{matrix}\right)A−B=(a11​a21​​a12​a22​​)−(b11​b21​​b12​b22​​)=(a11​−b11​a21​−b21​​a12​−b12​a22​−b22​​)​​


Beispiel - Addition

(32−21235−91)+(1812−10−235)=(3+12+8−2+11+22−13+05−2−9+31+5)=(410−13133−66)\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)​315​22−9​−231​​+​12−2​8−13​105​​=​3+11+25−2​2+82−1−9+3​−2+13+01+5​​=​433​101−6​−136​​​​



Multiplikation

Zahl und Matrix

Die Matrix wird durch die Multiplikation mit einer reellen, ganzen Zahl vervielfacht. Wird die Matrix mit einer Dezimalzahl multipliziert, verringern sich die Einträge einer Matrix. In beiden Fällen entsteht eine Matrix mit denselben Dimensionen wie die Ausgangsmatrix.


VORAUSSETZUNG

Die Zahl, mit welcher multipliziert wird, kann beliebig gewählt werden und die Matrix darf von beliebiger Dimension sein.


VORGEHEN

Jeder Eintrag der Matrix wird einzeln mit der Zahl r∈Rr\in\mathbb{R}r∈R​ multipliziert.

r⋅A=r⋅(a11a12a21a22)=(r⋅a11r⋅a12r⋅a21r⋅a22)r\cdot A=r\cdot\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_{11}&r\cdot a_{12}\\r\cdot a_{21}&r\cdot a_{22}\\\end{matrix}\right)r⋅A=r⋅(a11​a21​​a12​a22​​)=(r⋅a11​r⋅a21​​r⋅a12​r⋅a22​​)​​


Beispiel - Multiplikation Zahl und Matrix

2⋅(35−14)=(2⋅32⋅52⋅(−1)2⋅4)=(610−28)2\cdot\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cdot3&2\cdot5\\2\cdot(-1)&2\cdot4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)2⋅(3−1​54​)=(2⋅32⋅(−1)​2⋅52⋅4​)=(6−2​108​)​​


Matrix und Vektor

Durch die Multiplikation mit einer Matrix wird der Vektor zu einem neuen Vektor transformiert. Der neue Vektor hat dieselbe Zeilenzahl wie die Matrix. Man spricht von einer linearen Abbildung.


VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der Matrix muss mit der Zeilenzahl des Vektors übereinstimmen.


VORGEHEN

1.

Multipliziere die Einträge der i−i-i−​ ten Zeile von Matrix AAA​ eintragsweise mit den Komponenten des Vektors v⃗\vec{v}v​.

2.

Addiere die Produkte.

3.

Schreibe das Resultat in die i−i-i−​ te Zeile des neuen Vektors w⃗\vec{w}w​.

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Hinweis: Ein Vektor ist eigentlich eine Matrix der Dimension . Matrix mal Vektor ist ein Spezialfall von Matrix mal Matrix.


Beispiel - Multiplikation Matrix und Vektor
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Zwei Matrizen

Wenn zwei Matrizen multipliziert werden, entsteht eine neue Matrix. Die Zeilenanzahl der neuen Matrix entspricht der Zeilenanzahl der linken Matrix, die Spaltenanzahl der Spaltenanzahl der rechten Matrix.


VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der ersten Matrix muss mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.


VORGEHEN

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Mathematisch lässt sich das wie folgt ausdrücken: Multipliziere die Einträge der i−i-i−​ ten Zeile von Matrix AAA​ eintragsweise mit den Einträgen der j−j-j−​ ten Spalte von Matrix BBB​, addiere sie und schreibe das Resultat an die Stelle cijc_{ij}cij​​ der neuen Matrix CCC​.

​A⋅B=CA\cdot B=CA⋅B=C​​

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Beispiel - Multiplikation Matrix und Matrix
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​

Rechenregeln

Folgende Regeln gelten für Matrizen (A,B und C),(A, B \ und\ C), (A,B und C),​ Vektoren (v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​(v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} (v und w)​​ und Zahlen ( r und s).(\ r \ und\ s). ( r und s).


Addition und Subtraktion

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Matrix mal Zahl

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Matrix mal Vektor

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Matrix mal Matrix

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie addiert man Matrizen?

Damit Matrizen addiert werden können, müssen sie dieselben Dimensionen haben. Addiere die Einträge, welche an derselben Position haben.

Wie subtrahiert man Matrizen?

Damit Matrizen subtrahiert werden können, müssen sie dieselben Dimensionen haben. Subtrahiere die Einträge, welche an derselben Position haben.

Wie multipliziert man eine Matrize mit einer ganzen Zahl?

Jeder Eintrag der Matrix wird einzeln mit der Zahl multipliziert.

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