Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Addition und Subtraktion

Damit Matrizen addiert oder subtrahiert werden können, müssen sie dieselben Dimensionen haben.

Beispiel - Addition

$$\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)$$​​

Multiplikation

Zahl und Matrix

Die Matrix wird durch die Multiplikation mit einer reellen, ganzen Zahl vervielfacht. Wird die Matrix mit einer Dezimalzahl multipliziert, verringern sich die Einträge einer Matrix. In beiden Fällen entsteht eine Matrix mit denselben Dimensionen wie die Ausgangsmatrix.

VORAUSSETZUNG

Die Zahl, mit welcher multipliziert wird, kann beliebig gewählt werden und die Matrix darf von beliebiger Dimension sein.

VORGEHEN

Jeder Eintrag der Matrix wird einzeln mit der Zahl $$r\in\mathbb{R}$$​ multipliziert.

$$r\cdot A=r\cdot\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot a_{11}&r\cdot a_{12}\\r\cdot a_{21}&r\cdot a_{22}\\\end{matrix}\right)$$​​

Beispiel - Multiplikation Zahl und Matrix

$$2\cdot\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cdot3&2\cdot5\\2\cdot(-1)&2\cdot4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)$$​​

Matrix und Vektor

Durch die Multiplikation mit einer Matrix wird der Vektor zu einem neuen Vektor transformiert. Der neue Vektor hat dieselbe Zeilenzahl wie die Matrix. Man spricht von einer linearen Abbildung.

VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der Matrix muss mit der Zeilenzahl des Vektors übereinstimmen.

VORGEHEN

Hinweis: Ein Vektor ist eigentlich eine Matrix der Dimension . Matrix mal Vektor ist ein Spezialfall von Matrix mal Matrix.

Beispiel - Multiplikation Matrix und Vektor

Zwei Matrizen

Wenn zwei Matrizen multipliziert werden, entsteht eine neue Matrix. Die Zeilenanzahl der neuen Matrix entspricht der Zeilenanzahl der linken Matrix, die Spaltenanzahl der Spaltenanzahl der rechten Matrix.

VORAUSSETZUNG

Die Spaltenanzahl der ersten Matrix muss mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmen.

VORGEHEN

Mathematisch lässt sich das wie folgt ausdrücken: Multipliziere die Einträge der $$i-$$​ ten Zeile von Matrix $$A$$​ eintragsweise mit den Einträgen der $$j-$$​ ten Spalte von Matrix $$B$$​, addiere sie und schreibe das Resultat an die Stelle $$c_{ij}$$​ der neuen Matrix $$C$$​.

​$$A\cdot B=C$$​​

Beispiel - Multiplikation Matrix und Matrix

​

Rechenregeln

Folgende Regeln gelten für Matrizen $$(A, B \ und\ C),$$​ Vektoren $$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$v⃗ und w)⃗(\vec{v} \ und\ \vec{w)} $$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$$$(\vec{v} \ und\ \vec{w)}$$​ und Zahlen $$(\ r \ und\ s).$$

Addition und Subtraktion

Matrix mal Zahl

Matrix mal Vektor

Matrix mal Matrix