Partielle Integration: Anwendung & Formel

Die partielle Integration ist eine mögliche Methode, um das Integral von zusammengesetzten Funktionen zu bilden.

Anwendung

Vor allem beim Produkt von Funktionen. 

Formel

​$$\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)dx=\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{u\prime(x)\cdot v(x)dx}}$$​​

Die partielle Integration teilt das Integral auf in einen Teil, der bereits integriert ist (links), und einen Teil, der noch integriert werden muss. Durch die Aufteilung wird die Berechnung oftmals leichter.

Vorgehen

Beispiel 

​$$\int_{0}^{1}{xe^xdx}$$​​

​

Funktionen $$u\left(x\right)$$​ und $$v^\prime\left(x\right)$$ wählen: 

​$$u\left(x\right)=x$$​​

​$$v^\prime\left(x\right)=e^x$$​​

$$u\left(x\right)$$ kann man leicht ableiten:

​$$u^\prime\left(x\right)=1$$​​

$$v^\prime\left(x\right)$$ kann man leicht integrieren:

​$$v\left(x\right)=e^x$$​​

Einsetzen:

​$$=\left[\underbrace{x}_ u\cdot \underbrace{e^x}_ v\right]_0^1-\int_{0}^{1}{\underbrace{1}_{u^\prime}\cdot \underbrace{e^x}_ v d x}$$​​

Integration durchführen:

​$$=\left[x\cdot e^x\right]_0^1-\left[e^x\right]_0^1 \\=1\cdot e^1-0\cdot e^0-\left(e^1-e^0\right)=e-0-\left(e-1\right)=\underline{1}$$​​