Partielle Integration: Anwendung & Formel

Die partielle Integration ist eine mögliche Methode, um das Integral von zusammengesetzten Funktionen zu bilden.

Anwendung

Vor allem beim Produkt von Funktionen.

Formel

$\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)dx=\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{u\prime(x)\cdot v(x)dx}}$

Die partielle Integration teilt das Integral auf in einen Teil, der bereits integriert ist (links), und einen Teil, der noch integriert werden muss. Durch die Aufteilung wird die Berechnung oftmals leichter.

Vorgehen

1.	Wähle $u\left(x\right)$ und $v^\prime\left(x\right)$ . Tipps: $u\left(x\right)$ : Teil der Funktion, den man leicht ableiten kann und bei dem die Ableitung sehr simpel ist. Beispiel: $x\underbrace{\rightarrow}_{Ableitung}1$ $v^\prime\left(x\right)$ : Teil der Funktion, von dem man leicht zweimal die Stammfunktion bilden kann. Beispiel: $e^x\underbrace{\rightarrow}_{Integral}e^x$
2.	Bilde $u\prime(x)$ und $v\left(x\right)$ .
3.	Füge $u\left(x\right)$ , $u^\prime\left(x\right)$ , $v\left(x\right)$ und $v^\prime\left(x\right)$ entsprechend der Formel zusammen: $\int_{a}^{b}{u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)dx=\left[u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{u\prime(x)\cdot v(x)dx}}$
4.	Führe die Integration fort.

Beispiel

$\int_{0}^{1}{xe^xdx}$

Funktionen $u\left(x\right)$  und $v^\prime\left(x\right)$ wählen:

$u\left(x\right)=x$

$v^\prime\left(x\right)=e^x$

$u\left(x\right)$ kann man leicht ableiten:

$u^\prime\left(x\right)=1$

$v^\prime\left(x\right)$ kann man leicht integrieren:

$v\left(x\right)=e^x$

Einsetzen:

$=\left[\underbrace{x}_ u\cdot \underbrace{e^x}_ v\right]_0^1-\int_{0}^{1}{\underbrace{1}_{u^\prime}\cdot \underbrace{e^x}_ v d x}$

Integration durchführen:

$=\left[x\cdot e^x\right]_0^1-\left[e^x\right]_0^1 \\=1\cdot e^1-0\cdot e^0-\left(e^1-e^0\right)=e-0-\left(e-1\right)=\underline{1}$