Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.

Auswahl der Kombinatorik-Formeln

Je nach Art der Auswahl, nach Ordnung der Stichprobe und nach Art der Wiederholung, wird eine andere Formel verwendet:

Für Permutation	Für Variation und Kombination
$n:\ Anzahl\ aller\ Elemente\\n_i:Anzahl\ der\ Elemente\ vom\ Typ\ i$	$n:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente$

Mathematik; Kombinatorik; 3. Gymi; Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Hinweis:

Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.

Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Nein	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n!$	$n=Anzahl\ Farben=5$	$5!=\underline{120}$

Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Nein	Ja	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}$	$n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3$	$\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}$

Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}$

Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie vielen verschiedene Reihenfolgen von Farben können so gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n^k$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3$	$2^3=\underline{8}$

Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Nein	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\binom{n}{k}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 5 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Nein	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}$