Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination Definition Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.
Auswahl der Kombinatorik-Formeln Je nach Art der Auswahl, nach Ordnung der Stichprobe und nach Art der Wiederholung, wird eine andere Formel verwendet:
Für Permutation Für Variation und Kombination n : A n z a h l a l l e r E l e m e n t e n i : A n z a h l d e r E l e m e n t e v o m T y p i n:\ Anzahl\ aller\ Elemente\\n_i:Anzahl\ der\ Elemente\ vom\ Typ\ i n : A n z ah l a ll er El e m e n t e n i : A n z ah l d er El e m e n t e v o m T y p i
n : A n z a h l u n t e r s c h i e d l i c h e r E l e m e n t e k : A n z a h l e n t n o m m e n e r / g e w a ¨ h l t e r E l e m e n t e n:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente n : A n z ah l u n t ersc hi e d l i c h er El e m e n t e k : A n z ah l e n t n o mm e n er / g e w a ¨ h lt er El e m e n t e
Hinweis:
Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.
Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:
In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?
Auswahl
Geordnete Stichprobe
Wiederholung
Nein
Ja
Nein
Formel
Werte
Anzahl Möglichkeiten
n ! n! n !
n = A n z a h l F a r b e n = 5 n=Anzahl\ Farben=5 n = A n z ah l F a r b e n = 5
5 ! = 120 ‾ 5!=\underline{120} 5 ! = 120
Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:
In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?
Auswahl
Geordnete Stichprobe
Wiederholung
Nein
Ja
Ja
Formel
Werte
Anzahl Möglichkeiten
n ! n 1 ! ⋅ … ⋅ n i ! \frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!} n 1 ! ⋅ … ⋅ n i ! n !
n = A n z a h l S t u ¨ h l e = 9 n 1 = A n z a h l r o t e S t u ¨ h l e = 6 n 2 = A n z a h l b l a u e S t u ¨ h l e = 3 n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3 n = A n z ah l St u ¨ h l e = 9 n 1 = A n z ah l ro t e St u ¨ h l e = 6 n 2 = A n z ah l b l a u e St u ¨ h l e = 3
9 ! 6 ! ⋅ 3 ! = 84 ‾ \frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84} 6 ! ⋅ 3 ! 9 ! = 84
Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:
In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.
In wie vielen möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?
Auswahl
Geordnete Stichprobe
Wiederholung
Ja
Ja
Nein
Formel
Werte
Anzahl Möglichkeiten
n ! ( n − k ) ! \frac{n!}{\left(n-k\right)!} ( n − k ) ! n !
n = A n z a h l K u g e l n g e s a m t = 10 k = A n z a h l g e z o g e n e K u g e l n = 5 n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5 n = A n z ah l K ug e l n g es am t = 10 k = A n z ah l g ezo g e n e K ug e l n = 5
10 ! ( 10 − 5 ) ! = 30 240 ‾ \frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240} ( 10 − 5 ) ! 10 ! = 30 240
Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:
In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.
Wie vielen verschiedene Reihenfolgen von Farben können so gezogen werden?
Auswahl
Geordnete Stichprobe
Wiederholung
Ja
Ja
Ja
Formel
Werte
Anzahl Möglichkeiten
n k n^k n k
n = A n z a h l F a r b e n = 2 k = A n z a h l g e z o g e n e K u g e l n = 3 n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3 n = A n z ah l F a r b e n = 2 k = A n z ah l g ezo g e n e K ug e l n = 3
2 3 = 8 ‾ 2^3=\underline{8} 2 3 = 8
Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:
In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.
Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?
Auswahl
Geordnete Stichprobe
Wiederholung
Ja
Nein
Nein
Formel
Werte
Anzahl Möglichkeiten
( n k ) \binom{n}{k} ( k n )
n = A n z a h l K u g e l n g e s a m t = 10 k = A n z a h l g e z o g e n e K u g e l n = 5 n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5 n = A n z ah l K ug e l n g es am t = 10 k = A n z ah l g ezo g e n e K ug e l n = 5
( 10 5 ) = 10 ! 5 ! ⋅ ( 10 − 5 ) ! = 252 ‾ \binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252} ( 5 10 ) = 5 ! ⋅ ( 10 − 5 ) ! 10 ! = 252
Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:
In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 5 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.
Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?
Auswahl
Geordnete Stichprobe
Wiederholung
Ja
Nein
Ja
Formel
Werte
Anzahl Möglichkeiten
( n + k − 1 k ) \binom{n+k-1}{k} ( k n + k − 1 )
n = A n z a h l F a r b e n = 2 k = A n z a h l g e z o g e n e K u g e l n = 5 n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5 n = A n z ah l F a r b e n = 2 k = A n z ah l g ezo g e n e K ug e l n = 5
( 2 + 5 − 1 5 ) = 6 ! 5 ! ⋅ ( 6 − 5 ) ! = 6 ‾ \binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6} ( 5 2 + 5 − 1 ) = 5 ! ⋅ ( 6 − 5 ) ! 6 ! = 6