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Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

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Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen

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Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Fakultät: Definition und Formel

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Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

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Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

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Determinante von Matrizen berechnen

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Erklärvideo

Zusammenfassung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.



Auswahl der Kombinatorik-Formeln

Je nach Art der Auswahl, nach Ordnung der Stichprobe und nach Art der Wiederholung, wird eine andere Formel verwendet:

Für Permutation

Für Variation und Kombination

​n: Anzahl aller Elementeni:Anzahl der Elemente vom Typ in:\ Anzahl\ aller\ Elemente\\n_i:Anzahl\ der\ Elemente\ vom\ Typ\ in: Anzahl aller Elementeni​:Anzahl der Elemente vom Typ i​​

​n: Anzahl unterschiedlicher Elementek: Anzahl entnommener/gewa¨hlter Elementen:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elementen: Anzahl unterschiedlicher Elementek: Anzahl entnommener/gewa¨hlter Elemente​​


Mathematik; Kombinatorik; 3. Gymi; Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Hinweis:
  • Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
  • Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.


Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Nein

Ja

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​n!n!n!​​

​n=Anzahl Farben=5n=Anzahl\ Farben=5n=Anzahl Farben=5​​

​5!=120‾5!=\underline{120}5!=120​​​


Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Nein

Ja

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​n!n1!⋅…⋅ni!\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}n1​!⋅…⋅ni​!n!​​​

​n=Anzahl Stu¨hle=9n1=Anzahl rote Stu¨hle=6n2=Anzahl blaue Stu¨hle=3n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3n=Anzahl Stu¨hle=9n1​=Anzahl rote Stu¨hle=6n2​=Anzahl blaue Stu¨hle=3​

​9!6!⋅3!=84‾\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}6!⋅3!9!​=84​​​


Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​n!(n−k)!\frac{n!}{\left(n-k\right)!}(n−k)!n!​​​

​n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5​​

​10!(10−5)!=30 240‾\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}(10−5)!10!​=30 240​​​


Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie vielen verschiedene Reihenfolgen von Farben können so gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Ja

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​nkn^knk​​

​n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=3n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=3​​

​23=8‾2^3=\underline{8}23=8​​​


Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Nein


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​(nk)\binom{n}{k}(kn​)​​

​n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5n=Anzahl Kugeln gesamt=10k=Anzahl gezogene Kugeln=5​​

​(105)=10!5!⋅(10−5)!=252‾\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}(510​)=5!⋅(10−5)!10!​=252​​​


Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 5 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?


Auswahl

Geordnete Stichprobe

Wiederholung

Ja

Nein

Ja


Formel

Werte

Anzahl Möglichkeiten

​(n+k−1k)\binom{n+k-1}{k}(kn+k−1​)​​

​n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=5n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5n=Anzahl Farben=2k=Anzahl gezogene Kugeln=5​​

​(2+5−15)=6!5!⋅(6−5)!=6‾\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}(52+5−1​)=5!⋅(6−5)!6!​=6​​​



Mehr dazu

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Lerne in kleinen Schritten mit Theorieeinheiten und wende das Gelernte mit Übungssets an!
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Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

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Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

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Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür braucht man Kombination mit Wiederholung?

Um eine Auswahl aus einer ungeordneten Stichprobe zu wählen. Dabei werden die Elemente nach jedem ziehen zurückgelegt.

Wofür brauche ich Variation ohne Wiederholung?

Wenn du eine Auswahl aus einer geordneten Stichprobe triffst und keine Elemente zurücklegst.

Wofür brauche ich die Permutation mit Wiederholung?

Du brauchst sie um Elemente in einer Menge anzuordnen, wobei Wiederholungen berücksichtigt werden.

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