Für Permutation	Für Variation und Kombination
$n:\ Anzahl\ aller\ Elemente\\n_i:Anzahl\ der\ Elemente\ vom\ Typ\ i$	$n:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente$

Mathematik; Kombinatorik; 3. Gymi; Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Hinweis:

Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.

Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Nein	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n!$	$n=Anzahl\ Farben=5$	$5!=\underline{120}$

Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Nein	Ja	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}$	$n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3$	$\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}$

Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}$

Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie vielen verschiedene Reihenfolgen von Farben können so gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n^k$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3$	$2^3=\underline{8}$

Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Nein	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\binom{n}{k}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 5 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Nein	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}$

Mehr dazu

Übungen

Leicht

3 Aufgaben

Mittel

3 Aufgaben

Zum Weiterlernen

5 Aufgaben

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Grundlagen

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Überblick

Lernziele

Überblick

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür braucht man Kombination mit Wiederholung?

Um eine Auswahl aus einer ungeordneten Stichprobe zu wählen. Dabei werden die Elemente nach jedem ziehen zurückgelegt.

Wofür brauche ich Variation ohne Wiederholung?

Wenn du eine Auswahl aus einer geordneten Stichprobe triffst und keine Elemente zurücklegst.

Wofür brauche ich die Permutation mit Wiederholung?

Du brauchst sie um Elemente in einer Menge anzuordnen, wobei Wiederholungen berücksichtigt werden.

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Erklärvideos

Zusammenfassung

Übungen

Lektion auswählen

Differentialrechnung

Kurvendiskussion

Integralrechnung

Einführung

Gerade

Ebene

Kreise und Kugeln

Kombinatorik

Wahrscheinlichkeit

Statistik

Verteilungen

Folgen und Reihen

Folgen

Reihen

Grundlagen

Erklärvideo

Zusammenfassung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Definition

Auswahl der Kombinatorik-Formeln

Für Permutation

Für Variation und Kombination

Hinweis:

Übungen

Leicht

Mittel

Zum Weiterlernen

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Grundlagen

Lernziele

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür braucht man Kombination mit Wiederholung?

Wofür brauche ich Variation ohne Wiederholung?

Wofür brauche ich die Permutation mit Wiederholung?