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Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

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Differenzen- und Differentialquotient: Ableitung bestimmen

Ableitung Potenzfunktion und Ableitungsregeln

Ableitung Exponential- und Logarithmusfunktion

Ableitung trigonometrische Funktion

Ableitung Produkt-, Ketten- und Quotientenregel

Tangenten- und Normalengleichung bestimmen

Kurvendiskussion

Schreibweise und Bestimmung des Definitionsbereichs

Grenzwerte und Asymptoten bestimmen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bestimmen

Achsenschnittpunkte einer Funktion bestimmen

Lokale und globale Extrempunkte bestimmen

Wendepunkte bestimmen und unterscheiden

Monotonie: Definition und Vorgehen

Komplettes Vorgehen Kurvendiskussion

Kurvenscharen und Ortskurve

Verschiedene Extremalwertprobleme lösen

Funktionsgleichung einer Potenzfunktion bestimmen

Integralrechnung

Herleitung der Integralrechnung

Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral

Stammfunktion bilden und Integrationsregeln

Partielle Integration: Anwendung & Formel

Substitution bei verschachtelten Funktionen

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Rotationsvolumen: Definition und Formel

Uneigentliches Integral an waagrechten & senkrechten Asymptoten

Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Vektorgeometrie

Einführung

Basiswissen Vektoren: Eigenschaften und Verbindungsvektor

Vektoren Grundoperationen und Rechenregeln

Koordinatensystem in 2D und 3D

Komponentendarstellung in 2D und 3D

Rechnen in Komponentendarstellung in 2D und 3D

Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Skalarprodukt: Berechnung und Rechenregeln

Vektorprodukt: Berechnung und Anwendung

Gerade

Geradengleichung: Parameterform und Koordinatenform

Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Punkt und Gerade: kürzester Abstand und Spiegelpunkt bestimmen

Gegenseitige Lage von zwei Geraden

Ebene

Ebenen in Parameter- und Koordinatengleichung

Hess'sche Normalform: Formel und Eigenschaften

Spurpunkte, Spurgeraden und Achsenabschnitte

Ebene und Punkt: Abstand und Reflektion

Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade

Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Kreise und Kugeln

Kreise und Kugeln: Lagebeziehungen und Formeln

Kugel und Gerade: Lage, Schnitt- & Berührungspunkt berechnen

Kugel und Ebene: Lagebeziehungen und Aufgaben

Schnitt- und Berührungspunkt zwischen Kugeln

Lagebeziehungen von Kreis und Gerade

Stochastik

Kombinatorik

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Fakultät: Definition und Formel

Binomialkoeffizient: Formel und Berechnung

Permutationsformeln ohne und mit Wiederholung

Variationsformeln ohne und mit Wiederholung

Kombinationsformeln ohne und mit Wiederholung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Verschachtelte Kombinatorik-Probleme

Binäres Modell: Kombinatorik-Probleme mit zwei Möglichkeiten

Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit: Definition und Eigenschaften

Einstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Mehrstufige Zufallsexperimente: Wahrscheinlichkeit berechnen

Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten

Mengen und Vierfeldertafel: Wahrscheinlichkeiten darstellen

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Zufallsexperiment

Statistik

Statistik Kennwerte: Erwartungswert, Varianz & Standardabweichung

Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

Bernoulli Experiment und Kette: Definition und Formeln

Binomialverteilung: Funktionen & Kennwerte

Normalverteilung: Funktionen & Darstellung

Folgen und Reihen

Folgen

Arten und Darstellungen von Folgen

Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränkung & Grenzwert

Reihen

Reihen: Einführung und Grenzwerte

Matrizen

Grundlagen

Matrizen: Definition, Eigenschaften & spezielle Matrizen

Matrizenrechnung: Vorgehen & Rechenregeln

Determinante von Matrizen berechnen

Inverse Matrizen: Definition & Eigenschaften

Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen

Brüche

Erklärvideo

Zusammenfassung

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Definition

Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.

Auswahl der Kombinatorik-Formeln

Je nach Art der Auswahl, nach Ordnung der Stichprobe und nach Art der Wiederholung, wird eine andere Formel verwendet:

Für Permutation	Für Variation und Kombination
$n:\ Anzahl\ aller\ Elemente\\n_i:Anzahl\ der\ Elemente\ vom\ Typ\ i$	$n:\ Anzahl\ unterschiedlicher\ Elemente\\k:\ Anzahl\ entnommener/gew\ddot{a}hlter\ Elemente$

Mathematik; Kombinatorik; 3. Gymi; Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Hinweis:

Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.

Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Nein	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n!$	$n=Anzahl\ Farben=5$	$5!=\underline{120}$

Beispiel 2 - Permutation mit Wiederholung:

In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Nein	Ja	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}$	$n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3$	$\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}$

Beispiel 3 - Variation ohne Wiederholung:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

In wie vielen möglichen Reihenfolgen können die Kugeln gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}$

Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 3 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie vielen verschiedene Reihenfolgen von Farben können so gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Ja	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n^k$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3$	$2^3=\underline{8}$

Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Nein	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\binom{n}{k}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:

In einer Urne sind schwarze und grüne Kugeln. Es werden 5 Kugeln einzeln hintereinander gezogen und die Kugeln werden nach dem Ziehen jeweils wieder in die Urne zurückgelegt, bevor die Nächste gezogen wird.

Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Ja	Nein	Ja

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}$

Mehr dazu

Lerne mit Grundlagen

Dauer:

Teil 1

Kombinatorik: Definition und Rechenregeln

Abkürzung

Optional

Teil 2

Gemischte Formeln für Permutation, Variation und Kombination

Finaler Test

Erstelle ein kostenloses Konto, um mit den Übungen zu beginnen.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wofür braucht man Kombination mit Wiederholung?

Um eine Auswahl aus einer ungeordneten Stichprobe zu wählen. Dabei werden die Elemente nach jedem ziehen zurückgelegt.

Wofür brauche ich Variation ohne Wiederholung?

Wenn du eine Auswahl aus einer geordneten Stichprobe triffst und keine Elemente zurücklegst.

Wofür brauche ich die Permutation mit Wiederholung?

Du brauchst sie um Elemente in einer Menge anzuordnen, wobei Wiederholungen berücksichtigt werden.

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Mit den Kombinatorik-Formeln kann man in einigen Situationen direkt die Anzahl an möglichen Kombinationen berechnen.

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Je nach Art der Auswahl, nach Ordnung der Stichprobe und nach Art der Wiederholung, wird eine andere Formel verwendet:

Für Permutation	Für Variation und Kombination
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Hinweis:

Bei „Keine Auswahl“ werden alle Elemente verwendet. Bei „Auswahl“ kann auch nur ein Teil der Elemente verwendet werden.
Bei „Geordnete Stichprobe“ wird die Reihenfolge der kombinierten Elemente beachtet. Bei „Ungeordnete Stichprobe“ wird diese nicht beachtet.

Beispiel 1 - Permutation ohne Wiederholung:

In einem Raum stehen fünf verschiedenfarbige Stühle.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, alle Stühle in einer Reihe aufzustellen?

Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
Nein	Ja	Nein

Formel	Werte	Anzahl Möglichkeiten
$n!$	$n=Anzahl\ Farben=5$	$5!=\underline{120}$

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In einem Raum stehen sechs rote und drei blaue Stühle.

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Auswahl	Geordnete Stichprobe	Wiederholung
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$\frac{n!}{n_1!\cdot\ldots\cdot n_i!}$	$n=Anzahl\ St\ddot{u}hle=9\\n_1=Anzahl\ rote\ St\ddot{u}hle=6\\n_2=Anzahl\ blaue\ St\ddot{u}hle=3$	$\frac{9!}{6!\cdot3!}=\underline{84}$

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In einer Urne sind 10 Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden 5 Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

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$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\frac{10!}{\left(10-5\right)!}=\underline{30\ 240}$

Beispiel 4 - Variation mit Wiederholung:

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$n^k$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=3$	$2^3=\underline{8}$

Beispiel 5 - Kombination ohne Wiederholung:

In einer Urne sind zehn Kugeln mit verschiedenen Farben. Es werden fünf Kugeln gezogen, ohne diese wieder zurückzulegen.

Wie viele mögliche Kombinationen von Kugeln können gezogen werden?

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Ja	Nein	Nein

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$\binom{n}{k}$	$n=Anzahl\ Kugeln\ gesamt=10\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\cdot\left(10-5\right)!}=\underline{252}$

Beispiel 6 - Kombination mit Wiederholung:

Wie viele mögliche Kombinationen von Farben können so gezogen werden?

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$\binom{n+k-1}{k}$	$n=Anzahl\ Farben=2\\k=Anzahl\ gezogene\ Kugeln=5$	$\binom{2+5-1}{5}=\frac{6!}{5!\cdot\left(6-5\right)!}=\underline{6}$

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